ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде квадрата двучлена выражение:

1) \( (4a + 3b)^2 — 8b(4a + b)  \)

2) \( (10x + 3y)^2 — (8x + 4y)(8x — 4y)  \)

1) \( (4a + 3b)^2 — 8b(4a + b) = 16a^2 + 24ab + 9b^2 — 32ab — 8b^2 = \)

\( = 16a^2 — 8ab + b^2 = (4a — b)^2; \)

2) \( (10x + 3y)^2 — (8x + 4y)(8x — 4y) = 100x^2 + 60xy + 9y^2 — \)

\( — (64x^2 — 16y^2) = 100x^2 + 60xy + 9y^2 — 64x^2 + 16y^2 = \)

\( = 36x^2 + 60xy + 25y^2 = (6x + 5y)^2. \)

1) Представим выражение \( (4a + 3b)^2 — 8b(4a + b) \) в виде квадрата двучлена.

Шаг 1: Раскроем квадрат первого двучлена \( (4a + 3b)^2 \).

Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \), где \( x = 4a \), а \( y = 3b \). Раскрываем квадрат:

\( (4a + 3b)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot (4a) \cdot (3b) + (3b)^2 \)

\( = 16a^2 + 24ab + 9b^2 \)

Шаг 2: Раскроем произведение \( 8b(4a + b) \).

Используем распределительное свойство умножения:

\( 8b(4a + b) = 8b \cdot 4a + 8b \cdot b = 32ab + 8b^2 \)

Шаг 3: Подставим эти выражения в исходное равенство.

Исходное выражение: \( (4a + 3b)^2 — 8b(4a + b) \), подставляем раскрытые скобки:

\( (16a^2 + 24ab + 9b^2) — (32ab + 8b^2) \)

Шаг 4: Упростим выражение, приводя подобные члены.

Приводим одночлены с одинаковыми степенями переменных:

\( 16a^2 + 24ab + 9b^2 — 32ab — 8b^2 \)

Приводим подобные члены:

\( = 16a^2 — 8ab + b^2 \)

Шаг 5: Представим выражение в виде квадрата двучлена.

Теперь видим, что выражение \( 16a^2 — 8ab + b^2 \) можно записать как квадрат двучлена:

\( 16a^2 — 8ab + b^2 = (4a — b)^2 \)

Итог 1: \( (4a + 3b)^2 — 8b(4a + b) = (4a — b)^2 \)

2) Представим выражение \( (10x + 3y)^2 — (8x + 4y)(8x — 4y) \) в виде квадрата двучлена.

Шаг 1: Раскроем квадрат первого двучлена \( (10x + 3y)^2 \).

Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \), где \( x = 10x \), а \( y = 3y \). Раскрываем квадрат:

\( (10x + 3y)^2 = (10x)^2 + 2 \cdot (10x) \cdot (3y) + (3y)^2 \)

\( = 100x^2 + 60xy + 9y^2 \)

Шаг 2: Раскроем произведение \( (8x + 4y)(8x — 4y) \).

Используем формулу разности квадратов \( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \), где \( a = 8x \) и \( b = 4y \). Раскрываем произведение:

\( (8x + 4y)(8x — 4y) = (8x)^2 — (4y)^2 = 64x^2 — 16y^2 \)

Шаг 3: Подставим эти выражения в исходное равенство.

Исходное выражение: \( (10x + 3y)^2 — (8x + 4y)(8x — 4y) \), подставляем раскрытые скобки:

\( (100x^2 + 60xy + 9y^2) — (64x^2 — 16y^2) \)

Шаг 4: Упростим выражение, приводя подобные члены.

Приводим одночлены с одинаковыми степенями переменных:

\( 100x^2 + 60xy + 9y^2 — 64x^2 + 16y^2 \)

Приводим подобные члены:

\( = 36x^2 + 60xy + 25y^2 \)

Шаг 5: Представим выражение в виде квадрата двучлена.

Теперь видим, что выражение \( 36x^2 + 60xy + 25y^2 \) можно записать как квадрат двучлена:

\( 36x^2 + 60xy + 25y^2 = (6x + 5y)^2 \)

Итог 2: \( (10x + 3y)^2 — (8x + 4y)(8x — 4y) = (6x + 5y)^2 \)