ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Преобразуйте в квадрат двучлена выражение:

1) \( (3m — 2n)^2 + 5m(4n — m)  \)

2) \( (9x + 2y)^2 — (8x + 3y)(4x — 4y)  \)

1) \( (3m — 2n)^2 + 5m(4n — m) = 9m^2 — 12mn + 4n^2 + 20mn — 5m^2 = \)

\( = 4m^2 + 8mn + 4n^2 = (2m + 2n)^2; \)

2) \( (9x + 2y)^2 — (8x + 3y)(4x — 4y) = 81x^2 + 36xy + 4y^2 — \)

\( — (32x^2 — 32xy + 12xy — 12y^2) = 81x^2 + 36xy + 4y^2 — 32x^2 + \)

\( + 20xy + 12y^2 = 49x^2 + 56xy + 16y^2 = (7x + 4y)^2. \)

1) Представим выражение \( (3m — 2n)^2 + 5m(4n — m) \) в виде квадрата двучлена.

Шаг 1: Раскроем квадрат первого двучлена \( (3m — 2n)^2 \).

Используем формулу квадрата разности: \( (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2 \), где \( x = 3m \), а \( y = 2n \). Раскрываем квадрат:

\( (3m — 2n)^2 = (3m)^2 — 2 \cdot (3m) \cdot (2n) + (2n)^2 \)

\( = 9m^2 — 12mn + 4n^2 \)

Шаг 2: Раскроем произведение \( 5m(4n — m) \).

Здесь используем распределительное свойство умножения:

\( 5m(4n — m) = 5m \cdot 4n — 5m \cdot m = 20mn — 5m^2 \)

Шаг 3: Подставим эти выражения в исходное равенство.

Исходное выражение: \( (3m — 2n)^2 + 5m(4n — m) \), подставляем раскрытые скобки:

\( (9m^2 — 12mn + 4n^2) + (20mn — 5m^2) \)

Шаг 4: Упростим выражение, приводя подобные члены.

Для этого складываем и вычитаем одночлены с одинаковыми степенями переменных:

\( 9m^2 — 12mn + 4n^2 + 20mn — 5m^2 \)

Приводим подобные члены:

\( = 4m^2 + 8mn + 4n^2 \)

Шаг 5: Представим выражение в виде квадрата двучлена.

Теперь видим, что выражение \( 4m^2 + 8mn + 4n^2 \) можно записать как квадрат двучлена:

\( 4m^2 + 8mn + 4n^2 = (2m + 2n)^2 \)

Итог 1: \( (3m — 2n)^2 + 5m(4n — m) = (2m + 2n)^2 \)

2) Представим выражение \( (9x + 2y)^2 — (8x + 3y)(4x — 4y) \) в виде квадрата двучлена.

Шаг 1: Раскроем квадрат первого двучлена \( (9x + 2y)^2 \).

Используем формулу квадрата суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \), где \( x = 9x \), а \( y = 2y \). Раскрываем квадрат:

\( (9x + 2y)^2 = (9x)^2 + 2 \cdot (9x) \cdot (2y) + (2y)^2 \)

\( = 81x^2 + 36xy + 4y^2 \)

Шаг 2: Раскроем произведение \( (8x + 3y)(4x — 4y) \).

Используем формулу распределительного свойства умножения:

\( (8x + 3y)(4x — 4y) = (8x)(4x) + (8x)(-4y) + (3y)(4x) + (3y)(-4y) \)

\( = 32x^2 — 32xy + 12xy — 12y^2 \)

Шаг 3: Подставим эти выражения в исходное равенство.

Исходное выражение: \( (9x + 2y)^2 — (8x + 3y)(4x — 4y) \), подставляем раскрытые скобки:

\( (81x^2 + 36xy + 4y^2) — (32x^2 — 32xy + 12xy — 12y^2) \)

Шаг 4: Упростим выражение, приводя подобные члены.

Для этого складываем и вычитаем одночлены с одинаковыми степенями переменных:

\( 81x^2 + 36xy + 4y^2 — 32x^2 + 32xy — 12y^2 \)

Приводим подобные члены:

\( = 49x^2 + 56xy + 16y^2 \)

Шаг 5: Представим выражение в виде квадрата двучлена.

Теперь видим, что выражение \( 49x^2 + 56xy + 16y^2 \) можно записать как квадрат двучлена:

\( 49x^2 + 56xy + 16y^2 = (7x + 4y)^2 \)

Итог 2: \( (9x + 2y)^2 — (8x + 3y)(4x — 4y) = (7x + 4y)^2 \)