ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какое число надо прибавить к многочлену 81²b² — 36ab + 9, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена?

\( 81a^2b^2 — 36ab + 9 = (9ab)^2 — 2 \cdot 9ab \cdot 2 + 2^2 + 9 — 2^2 = \)

\( = (9ab — 2)^2 + 9 — 4 = (9ab — 2)^2 + 5. \)

Значит, к многочлену \( 81a^2b^2 — 36ab + 9 \) надо прибавить число \( (-5) \), чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена.

Ответ: \( -5. \)

1) Рассмотрим многочлен \( 81a^2b^2 — 36ab + 9 \). Нам нужно прибавить число к этому многочлену, чтобы он стал квадратом двучлена.

Шаг 1: Попробуем представить многочлен в виде квадрата двучлена.

Применим формулу квадрата двучлена: \( (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2 \), где \( x = 9ab \) и \( y = 2 \).

Теперь раскроем квадрат двучлена для \( (9ab — 2)^2 \):

\( (9ab — 2)^2 = (9ab)^2 — 2 \cdot (9ab) \cdot 2 + 2^2 \)

\( = 81a^2b^2 — 36ab + 4 \)

Шаг 2: Сравним полученное выражение с исходным многочленом.

Исходный многочлен: \( 81a^2b^2 — 36ab + 9 \)

Мы видим, что выражение \( (9ab — 2)^2 = 81a^2b^2 — 36ab + 4 \), а наш исходный многочлен \( 81a^2b^2 — 36ab + 9 \). Разница между этими выражениями равна:

\( (81a^2b^2 — 36ab + 9) — (81a^2b^2 — 36ab + 4) = 9 — 4 = 5 \)

Шаг 3: Что нужно прибавить к исходному многочлену?

Чтобы выражение стало квадратом двучлена, нужно прибавить число, которое сделает разницу между \( 81a^2b^2 — 36ab + 9 \) и \( (9ab — 2)^2 \) равной нулю. Это число равно \( -5 \), так как:

Исходное выражение \( 81a^2b^2 — 36ab + 9 \) должно быть приведено к виду \( (9ab — 2)^2 \). Для этого нужно вычесть 5, то есть прибавить \( -5 \).

Итог: Число, которое нужно прибавить к многочлену \( 81a^2b^2 — 36ab + 9 \), чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена, равно \( -5 \).