ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( x^2 — 16x + 64 = 0 \)

2) \( 81x^2 + 126x + 49 = 0 \)

3) \( (x — 1)^2 + (x — 2)^2 = 2(1 — x)(x — 2) \)

1) \( x^2 — 16x + 64 = 0 \)

\( (x — 8)^2 = 0 \)

\( x — 8 = 0 \)

\( x = 8. \)

Ответ: \( x = 8. \)

2) \( 81x^2 + 126x + 49 = 0 \)

\( (9x + 7)^2 = 0 \)

\( 9x + 7 = 0 \)

\( 9x = -7 \)

\( x = -\frac{7}{9}. \)

Ответ: \( x = -\frac{7}{9}. \)

3) \( (x — 1)^2 + (x — 2)^2 = 2(1 — x)(x — 2) \)

\( (x — 1)^2 — 2(1 — x)(x — 2) + (x — 2)^2 = 0 \)

\( (x — 1)^2 + 2(x — 1)(x — 2) + (x — 2)^2 = 0 \)

\( ((x — 1) + (x — 2))^2 = 0 \)

\( (x — 1 + x — 2)^2 = 0 \)

\( (2x — 3)^2 = 0 \)

\( 2x — 3 = 0 \)

\( 2x = 3 \)

\( x = 1,5. \)

Ответ: \( x = 1,5. \)

1) Рассмотрим уравнение \( x^2 — 16x + 64 = 0 \). Нам нужно решить это уравнение.

Шаг 1: Попробуем представить уравнение как квадрат двучлена.

Исходное уравнение: \( x^2 — 16x + 64 = 0 \)

Рассмотрим выражение в левой части. Мы можем заметить, что оно имеет вид квадрата двучлена. Раскроем квадрат двучлена:

\( (x — 8)^2 = x^2 — 16x + 64 \)

Шаг 2: Подставим полученное выражение в исходное уравнение.

Мы видим, что уравнение можно представить как \( (x — 8)^2 = 0 \).

Шаг 3: Решим уравнение.

Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то \( (x — 8)^2 = 0 \) означает, что \( x — 8 = 0 \).

Решение: \( x = 8 \).

Ответ: \( x = 8 \).

2) Рассмотрим уравнение \( 81x^2 + 126x + 49 = 0 \). Нам нужно решить это уравнение.

Шаг 1: Попробуем представить уравнение как квадрат двучлена.

Исходное уравнение: \( 81x^2 + 126x + 49 = 0 \)

Мы можем заметить, что это выражение похоже на квадрат суммы. Попробуем раскрыть квадрат двучлена:

\( (9x + 7)^2 = 81x^2 + 126x + 49 \)

Шаг 2: Подставим полученное выражение в исходное уравнение.

Теперь уравнение можно записать как \( (9x + 7)^2 = 0 \).

Шаг 3: Решим уравнение.

Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то \( (9x + 7)^2 = 0 \) означает, что \( 9x + 7 = 0 \).

Решение: \( 9x = -7 \), и отсюда \( x = -\frac{7}{9} \).

Ответ: \( x = -\frac{7}{9} \).

3) Рассмотрим уравнение \( (x — 1)^2 + (x — 2)^2 = 2(1 — x)(x — 2) \). Нам нужно решить это уравнение.

Шаг 1: Раскроем квадратные выражения в левой части уравнения.

Исходное уравнение: \( (x — 1)^2 + (x — 2)^2 = 2(1 — x)(x — 2) \)

Раскроем квадраты в левой части:

\( (x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1 \)

\( (x — 2)^2 = x^2 — 4x + 4 \)

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\( (x^2 — 2x + 1) + (x^2 — 4x + 4) = 2(1 — x)(x — 2) \)

Шаг 2: Упростим левую часть уравнения.

Складываем подобные члены:

\( x^2 — 2x + 1 + x^2 — 4x + 4 = 2x^2 — 6x + 5 \)

Шаг 3: Раскроем правую часть уравнения.

Для правой части уравнения используем распределительное свойство:

\( 2(1 — x)(x — 2) = 2 \cdot (1 — x) \cdot (x — 2) \)

Теперь раскроем скобки:

\( (1 — x)(x — 2) = 1 \cdot x — 1 \cdot 2 — x \cdot x + x \cdot 2 = x — 2 — x^2 + 2x \)

Теперь подставим это в правую часть:

\( 2(x — 2 — x^2 + 2x) = 2x — 4 — 2x^2 + 4x \)

Упрощаем правую часть:

\( -2x^2 + 6x — 4 \)

Шаг 4: Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение.

Теперь у нас есть уравнение:

\( 2x^2 — 6x + 5 = -2x^2 + 6x — 4 \)

Шаг 5: Переносим все на одну сторону и упрощаем.

Добавим \( 2x^2 \) и вычтем \( 6x \) из обеих сторон:

\( 2x^2 — 6x + 5 + 2x^2 — 6x + 4 = 0 \)

Упрощаем:

\( 4x^2 — 12x + 9 = 0 \)

Шаг 6: Решим полученное квадратное уравнение.

Это уравнение можно решить с помощью формулы для квадратных уравнений:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a} \), где \( a = 4 \), \( b = -12 \), и \( c = 9 \).

Подставим значения:

\( x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4} \)

\( x = \frac{12 \pm \sqrt{144 — 144}}{8} \)

\( x = \frac{12 \pm \sqrt{0}}{8} \)

\( x = \frac{12 \pm 0}{8} \)

\( x = \frac{12}{8} \)

\( x = 1,5 \)

Ответ: \( x = 1,5 \).