ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Является ли тождеством равенство:

\( (a — 2)(a — 3)(a + 3)(a + 2) + a^2 = (a^2 — 6)^2 \)

\( (a — 2)(a — 3)(a + 3)(a + 2) + a^2 = (a^2 — 6)^2 \)

\( ((a — 2)(a + 2))((a — 3)(a + 3)) + a^2 = (a^2 — 6)^2 \)

\( (a^2 — 4)(a^2 — 9) + a^2 = (a^2 — 6)^2 \)

\( a^4 — 9a^2 — 4a^2 + 36 + a^2 = (a^2 — 6)^2 \)

\( a^4 — 12a^2 + 36 = (a^2 — 6)^2 \)

\( (a^2 — 6)^2 = (a^2 — 6)^2 \to \) является тождеством.

Задача: Нужно проверить, является ли тождеством равенство:

\( (a — 2)(a — 3)(a + 3)(a + 2) + a^2 = (a^2 — 6)^2 \)

Шаг 1: Раскроем произведения в левой части уравнения.

Исходное выражение: \( (a — 2)(a — 3)(a + 3)(a + 2) + a^2 \)

Сначала раскроем каждое из произведений. Используем формулы для разности и суммы квадратов:

\( (a — 2)(a + 2) = a^2 — 4 \)

\( (a — 3)(a + 3) = a^2 — 9 \)

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\( (a^2 — 4)(a^2 — 9) + a^2 \)

Шаг 2: Умножим выражения в скобках.

Раскроем скобки, применяя распределительное свойство умножения:

\( (a^2 — 4)(a^2 — 9) = a^2 \cdot a^2 — a^2 \cdot 9 — 4 \cdot a^2 + 4 \cdot 9 \)

\( = a^4 — 9a^2 — 4a^2 + 36 \)

Шаг 3: Приведем подобные члены.

Складываем подобные члены в выражении:

\( a^4 — 9a^2 — 4a^2 + 36 = a^4 — 13a^2 + 36 \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( a^4 — 13a^2 + 36 + a^2 = a^4 — 12a^2 + 36 \)

Шаг 4: Проверим правую часть уравнения.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения, которая представлена как \( (a^2 — 6)^2 \).

Раскроем квадрат:

\( (a^2 — 6)^2 = a^4 — 12a^2 + 36 \)

Шаг 5: Сравним обе части.

Левая часть уравнения: \( a^4 — 12a^2 + 36 \)

Правая часть уравнения: \( a^4 — 12a^2 + 36 \)

Как мы видим, обе части уравнения одинаковы.

Итог: Уравнение является тождеством, так как левая и правая части равны для любых значений переменной \( a \).