ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какое из данных равенств является тождеством:

1) \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 8b)^2 \)

2) \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2 \)

3) \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (ab + 4)^2 \)

4) \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 2b)^2 \)

1) \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 8b)^2 \Longrightarrow \) не является тождеством;

2) \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2 \Longrightarrow \) тождество;

3) \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (ab + 4)^2 \Longrightarrow \) не является тождеством;

4) \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 2b)^2 \Longrightarrow \) не является тождеством.

Ответ: 2).

Нам нужно определить, какое из данных равенств является тождеством. Для этого проверим каждое равенство, раскрыв скобки и приводя подобные члены.

Исходное выражение: \( a^2 + 8ab + 16b^2 \).

1) Проверим равенство \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 8b)^2 \).

Раскроем скобки на правой стороне:

\( (a + 8b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 8b + (8b)^2 \)

\( = a^2 + 16ab + 64b^2 \)

Теперь сравним левую и правую части:

Левая часть: \( a^2 + 8ab + 16b^2 \)

Правая часть: \( a^2 + 16ab + 64b^2 \)

Как видим, члены \( 8ab \) и \( 16ab \), а также \( 16b^2 \) и \( 64b^2 \) не совпадают. Следовательно, это равенство не является тождеством.

2) Проверим равенство \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2 \).

Раскроем скобки на правой стороне:

\( (a + 4b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 4b + (4b)^2 \)

\( = a^2 + 8ab + 16b^2 \)

Теперь сравним левую и правую части:

Левая часть: \( a^2 + 8ab + 16b^2 \)

Правая часть: \( a^2 + 8ab + 16b^2 \)

Части совпадают, следовательно, это равенство является тождеством.

3) Проверим равенство \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (ab + 4)^2 \).

Раскроем скобки на правой стороне:

\( (ab + 4)^2 = (ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot 4 + 4^2 \)

\( = a^2b^2 + 8ab + 16 \)

Теперь сравним левую и правую части:

Левая часть: \( a^2 + 8ab + 16b^2 \)

Правая часть: \( a^2b^2 + 8ab + 16 \)

Части не совпадают: в правой части присутствует \( a^2b^2 \) и \( 16 \), которые отсутствуют в левой части. Следовательно, это равенство не является тождеством.

4) Проверим равенство \( a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 2b)^2 \).

Раскроем скобки на правой стороне:

\( (a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 \)

\( = a^2 + 4ab + 4b^2 \)

Теперь сравним левую и правую части:

Левая часть: \( a^2 + 8ab + 16b^2 \)

Правая часть: \( a^2 + 4ab + 4b^2 \)

Части не совпадают: члены \( 8ab \) и \( 4ab \), а также \( 16b^2 \) и \( 4b^2 \) не совпадают. Следовательно, это равенство не является тождеством.

Таким образом, только второе равенство является тождеством.

Ответ: \( 2) \) является тождеством.