ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( (a — 1)^2 + 2(a — 1) + 1 = a^2 \)

2) \( (a + b)^2 — 2(a + b)(a — b) + (a — b)^2 = 4b^2 \)

3) \( (a — 8)^2 + 2(a — 8)(3 — a) + (a — 3)^2 = 25 \)

4) \( (x^n — 2)^2 — 2(x^n — 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2 = 16 \)

1) \( (a — 1)^2 + 2(a — 1) + 1 = a^2 \)

\( ((a — 1) + 1)^2 = a^2 \)

\( (a — 1 + 1)^2 = a^2 \)

\( a^2 = a^2 \to \) что и требовалось доказать.

2) \( (a + b)^2 — 2(a + b)(a — b) + (a — b)^2 = 4b^2 \)

\( ((a + b) — (a — b))^2 = 4b^2 \)

\( (a + b — a + b)^2 = 4b^2 \)

\( (2b)^2 = 4b^2 \)

\( 4b^2 = 4b^2 \to \) что и требовалось доказать.

3) \( (a — 8)^2 + 2(a — 8)(3 — a) + (a — 3)^2 = 25 \)

\( (a — 8)^2 + 2(a — 8)(3 — a) + (3 — a)^2 = 25 \)

\( ((a — 8) + (3 — a))^2 = 25 \)

\( (a — 8 + 3 — a)^2 = 25 \)

\( (-5)^2 = 25 \)

\( 25 = 25 \to \) что и требовалось доказать.

4) \( (x^n — 2)^2 — 2(x^n — 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2 = 16 \)

\( ((x^n — 2) — (x^n + 2))^2 = 16 \)

\( (x^n — 2 — x^n — 2)^2 = 16 \)

\( (-4)^2 = 16 \)

\( 16 = 16 \to \) что и требовалось доказать.

1) Доказательство тождества:

\( (a — 1)^2 + 2(a — 1) + 1 = a^2 \)

Шаг 1: Раскроем квадрат и упростим выражение.

Исходное выражение: \( (a — 1)^2 + 2(a — 1) + 1 \)

Раскроем квадрат: \( (a — 1)^2 = a^2 — 2a + 1 \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( a^2 — 2a + 1 + 2(a — 1) + 1 \)

Шаг 2: Раскроем скобки во втором члене.

Раскроем \( 2(a — 1) \):

\( 2(a — 1) = 2a — 2 \)

Теперь подставим это в выражение:

\( a^2 — 2a + 1 + 2a — 2 + 1 \)

Шаг 3: Приведем подобные члены.

Складываем и вычитаем одночлены с одинаковыми степенями переменных:

\( a^2 — 2a + 2a + 1 — 2 + 1 = a^2 \)

Шаг 4: Полученное выражение.

Мы видим, что все члены сократились, и осталось только \( a^2 \), что и требовалось доказать.

Ответ: \( (a — 1)^2 + 2(a — 1) + 1 = a^2 \) является тождеством.

2) Доказательство тождества:

\( (a + b)^2 — 2(a + b)(a — b) + (a — b)^2 = 4b^2 \)

Шаг 1: Раскроем квадратные скобки и упростим выражение.

Раскроем каждое произведение в уравнении:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

\( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \)

Подставляем это в исходное уравнение:

\( (a^2 + 2ab + b^2) — 2(a + b)(a — b) + (a^2 — 2ab + b^2) = 4b^2 \)

Шаг 2: Раскроем и упростим второе произведение.

Распишем \( 2(a + b)(a — b) \):

\( 2(a + b)(a — b) = 2(a^2 — b^2) \)

Теперь подставим это в выражение:

\( a^2 + 2ab + b^2 — 2(a^2 — b^2) + a^2 — 2ab + b^2 \)

Шаг 3: Приведем подобные члены.

Приводим одночлены с одинаковыми степенями переменных:

\( a^2 + 2ab + b^2 — 2a^2 + 2b^2 + a^2 — 2ab + b^2 = 4b^2 \)

Упрощаем:

\( 4b^2 = 4b^2 \), что и требовалось доказать.

Ответ: \( (a + b)^2 — 2(a + b)(a — b) + (a — b)^2 = 4b^2 \) является тождеством.

3) Доказательство тождества:

\( (a — 8)^2 + 2(a — 8)(3 — a) + (a — 3)^2 = 25 \)

Шаг 1: Раскроем квадратные скобки и упростим выражение.

Раскроем каждое произведение в уравнении:

\( (a — 8)^2 = a^2 — 16a + 64 \)

\( (a — 3)^2 = a^2 — 6a + 9 \)

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\( a^2 — 16a + 64 + 2(a — 8)(3 — a) + a^2 — 6a + 9 = 25 \)

Шаг 2: Раскроем произведение \( 2(a — 8)(3 — a) \).

Распишем \( (a — 8)(3 — a) \):

\( (a — 8)(3 — a) = -a^2 + 11a — 24 \)

Теперь подставим это в выражение:

\( a^2 — 16a + 64 + 2(-a^2 + 11a — 24) + a^2 — 6a + 9 = 25 \)

Шаг 3: Упростим выражение.

Теперь раскрываем скобки и приводим подобные члены:

\( a^2 — 16a + 64 — 2a^2 + 22a — 48 + a^2 — 6a + 9 = 25 \)

Приводим подобные члены:

\( 0a^2 + (22a — 16a — 6a) + (64 — 48 + 9) = 25 \)

\( 0a^2 + 0a + 25 = 25 \), что и требовалось доказать.

Ответ: \( (a — 8)^2 + 2(a — 8)(3 — a) + (a — 3)^2 = 25 \) является тождеством.

4) Доказательство тождества:

\( (x^n — 2)^2 — 2(x^n — 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2 = 16 \)

Шаг 1: Раскроем квадратные скобки и упростим выражение.

Раскроем каждое произведение в уравнении:

\( (x^n — 2)^2 = x^{2n} — 4x^n + 4 \)

\( (x^n + 2)^2 = x^{2n} + 4x^n + 4 \)

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\( x^{2n} — 4x^n + 4 — 2(x^n — 2)(x^n + 2) + x^{2n} + 4x^n + 4 = 16 \)

Шаг 2: Раскроем произведение \( -2(x^n — 2)(x^n + 2) \).

Используем формулу для разности квадратов:

\( (x^n — 2)(x^n + 2) = x^{2n} — 4 \)

Теперь подставим это в выражение:

\( x^{2n} — 4x^n + 4 — 2(x^{2n} — 4) + x^{2n} + 4x^n + 4 = 16 \)

Шаг 3: Упростим выражение.

Теперь раскроем скобки и приведем подобные члены:

\( x^{2n} — 4x^n + 4 — 2x^{2n} + 8 + x^{2n} + 4x^n + 4 = 16 \)

Приводим подобные члены:

\( 0x^{2n} + 0x^n + 16 = 16 \), что и требовалось доказать.

Ответ: \( (x^n — 2)^2 — 2(x^n — 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2 = 16 \) является тождеством.