ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение не имеет корней:

1) \( x^2 — 14x + 52 = 0 \)

2) \( 4x^2 — 2x + 1 = 0 \)

1) \( x^2 — 14x + 52 = 0 \)

\( x^2 — 14x + 49 + 3 = 0 \)

\( (x — 7)^2 + 3 = 0 \)

\( (x — 7)^2 = -3 \to \) решений нет, так как \( (x — 7)^2 \ge 0. \)

Ответ: корней нет.

2) \( 4x^2 — 2x + 1 = 0 \)

\( 4x^2 — 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} — \frac{1}{4} + 1 = 0 \)

\( \left( 2x — \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} = 0 \)

\( \left( 2x — \frac{1}{2} \right)^2 = -\frac{3}{4} \to \) решений нет, так как \( \left( 2x — \frac{1}{2} \right)^2 \ge 0. \)

Ответ: корней нет.

1) Рассмотрим уравнение: \( x^2 — 14x + 52 = 0 \)

1.1. Перепишем уравнение, чтобы привести его к более удобному виду:

\( x^2 — 14x + 52 = 0 \)

1.2. Попробуем привести его к полному квадрату. Для этого добавим и вычтем \( 49 \) (это будет квадрат половины коэффициента при \( x \), то есть \( \frac{-14}{2} = -7 \), и его квадрат \( (-7)^2 = 49 \)):

\( x^2 — 14x + 49 + 3 = 0 \)

1.3. Теперь выражение можно записать в виде полного квадрата:

\( (x — 7)^2 + 3 = 0 \)

1.4. Переносим \( 3 \) в правую часть уравнения:

\( (x — 7)^2 = -3 \)

1.5. Из уравнения видно, что квадрат любого числа не может быть отрицательным, так как для любого \( x \) выполняется неравенство \( (x — 7)^2 \geq 0 \). Следовательно, выражение \( (x — 7)^2 = -3 \) не может иметь решений, так как правая часть отрицательна.

Ответ: у уравнения нет корней.

2) Рассмотрим уравнение: \( 4x^2 — 2x + 1 = 0 \)

2.1. Перепишем уравнение для удобства:

\( 4x^2 — 2x + 1 = 0 \)

2.2. Попробуем также привести его к полному квадрату. Для этого добавим и вычтем \( \frac{1}{4} \) (это будет квадрат половины коэффициента при \( x \), то есть \( \frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{-1}{2} \), и его квадрат \( \left(\frac{-1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)):

\( 4x^2 — 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} — \frac{1}{4} + 1 = 0 \)

2.3. Перепишем уравнение в виде полного квадрата:

\( \left( 2x — \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} = 0 \)

2.4. Переносим \( \frac{3}{4} \) в правую часть уравнения:

\( \left( 2x — \frac{1}{2} \right)^2 = -\frac{3}{4} \)

2.5. Аналогично предыдущему примеру, квадрат любого числа не может быть отрицательным, так как для любого \( x \) выполняется неравенство \( \left( 2x — \frac{1}{2} \right)^2 \geq 0 \). Следовательно, выражение \( \left( 2x — \frac{1}{2} \right)^2 = -\frac{3}{4} \) не может иметь решений, так как правая часть отрицательна.

Ответ: у уравнения нет корней.

Таким образом, мы доказали, что оба уравнения не имеют корней, так как их решения приводят к невозможным ситуациям, где квадрат числа равен отрицательному числу, что невозможно в действительных числах.