ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение не имеет корней:

1) \( x^2 — 8x + 17 = 0 \)

2) \( x^2 — x + 1 = 0 \)

1) \( x^2 — 8x + 17 = 0 \)

\( x^2 — 8x + 16 + 1 = 0 \)

\( (x — 4)^2 + 1 = 0 \)

\( (x — 4)^2 = -1 \to \) решений нет, так как \( (x — 4)^2 \ge 0. \)

Ответ: корней нет.

2) \( x^2 — x + 1 = 0 \)

\( x^2 — 2x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} — \frac{1}{4} + 1 = 0 \)

\( \left( x — \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} = 0 \)

\( \left( x — \frac{1}{2} \right)^2 = -\frac{3}{4} \to \) решений нет, так как \( \left( x — \frac{1}{2} \right)^2 \ge 0. \)

Ответ: корней нет.

1) Рассмотрим уравнение: \( x^2 — 8x + 17 = 0 \)

1.1. Начнем с преобразования данного уравнения. Попробуем привести его к полному квадрату. Для этого добавим и вычтем \( 16 \) (это квадрат половины коэффициента при \( x \), то есть \( \frac{-8}{2} = -4 \), и его квадрат \( (-4)^2 = 16 \)):

\( x^2 — 8x + 16 + 1 = 0 \)

1.2. Теперь выражение можно записать в виде полного квадрата:

\( (x — 4)^2 + 1 = 0 \)

1.3. Переносим \( 1 \) в правую часть уравнения:

\( (x — 4)^2 = -1 \)

1.4. Из уравнения видно, что квадрат любого числа не может быть отрицательным, так как для любого \( x \) выполняется неравенство \( (x — 4)^2 \geq 0 \). Следовательно, выражение \( (x — 4)^2 = -1 \) не может иметь решений, так как правая часть отрицательна.

Ответ: у уравнения нет корней.

2) Рассмотрим уравнение: \( x^2 — x + 1 = 0 \)

2.1. Начнем с преобразования данного уравнения. Попробуем также привести его к полному квадрату. Для этого добавим и вычтем \( \frac{1}{4} \) (это квадрат половины коэффициента при \( x \), то есть \( \frac{-1}{2} \), и его квадрат \( \left( \frac{-1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \)):

\( x^2 — 2x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} — \frac{1}{4} + 1 = 0 \)

2.2. Теперь выражение можно записать в виде полного квадрата:

\( \left( x — \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} = 0 \)

2.3. Переносим \( \frac{3}{4} \) в правую часть уравнения:

\( \left( x — \frac{1}{2} \right)^2 = -\frac{3}{4} \)

2.4. Как и в предыдущем случае, квадрат любого числа не может быть отрицательным, так как для любого \( x \) выполняется неравенство \( \left( x — \frac{1}{2} \right)^2 \geq 0 \). Следовательно, выражение \( \left( x — \frac{1}{2} \right)^2 = -\frac{3}{4} \) не может иметь решений, так как правая часть отрицательна.

Ответ: у уравнения нет корней.

Таким образом, оба уравнения не имеют корней, так как их решения приводят к невозможным ситуациям, где квадрат числа равен отрицательному числу, что невозможно в действительных числах.