ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях x. Укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении x:

1) \( x^2 — 6x + 10 \)

2) \( 16x^2 + 24x + 25 \)

3) \( x^2 + x + 1  \)

1) \( x^2 — 6x + 10 = x^2 — 6x + 9 + 1 = (x — 3)^2 + 1 > 0 \to \) при всех \( x, \) так как \( (x — 3)^2 \ge 0 \) и \( 1 > 0. \)

Наименьшее значение равно 1 при \( x = 3. \)

2) \( 16x^2 + 24x + 25 = 16x^2 + 24x + 9 + 16 = (4x + 3)^2 + 16 \ge 0 \to \) при всех \( x, \) так как \( (4x + 3)^2 \ge 0 \) и \( 16 > 0. \)

Наименьшее значение равно 16 при:

\( 4x + 3 = 0 \Longrightarrow 4x = -3 \Longrightarrow x = -\frac{3}{4}. \)

3) \( x^2 + x + 1 = x^2 + 2x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} — \frac{1}{4} + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \ge 0 \to \) при всех \( x, \) так как \( \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 \ge 0 \) и \( \frac{3}{4} > 0. \)

Наименьшее значение равно \( \frac{3}{4} \) при:

\( x + \frac{1}{2} = 0 \Longrightarrow x = -0,5. \)

Ответ: 1) 1 при \( x = 3; \) 2) 16 при \( x = -\frac{3}{4}; \) 3) \( \frac{3}{4} \) при \( x = -0,5. \)

1) Рассмотрим выражение: \( x^2 — 6x + 10 \)

1.1. Попробуем привести его к полному квадрату. Для этого добавим и вычтем \( 9 \) (это квадрат половины коэффициента при \( x \), то есть \( \frac{-6}{2} = -3 \), и его квадрат \( (-3)^2 = 9 \)):

\( x^2 — 6x + 9 + 1 = 0 \)

1.2. Теперь можно записать выражение в виде полного квадрата:

\( (x — 3)^2 + 1 = 0 \)

1.3. Мы знаем, что квадрат любого числа не может быть отрицательным, то есть для всех \( x \) выполняется неравенство \( (x — 3)^2 \ge 0 \). Следовательно, выражение \( (x — 3)^2 + 1 \) всегда больше 0, так как к квадрату прибавляется 1, то есть \( (x — 3)^2 + 1 > 0 \) при всех \( x \).

1.4. Наименьшее значение выражение \( (x — 3)^2 + 1 \) примет, когда \( (x — 3)^2 = 0 \), то есть когда \( x = 3 \). Подставим \( x = 3 \) в выражение для \( f(x) \):

\( f(3) = (3 — 3)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 \)

1.5. Таким образом, наименьшее значение выражение \( f(x) = x^2 — 6x + 10 \) равно 1 и оно достигается при \( x = 3 \).

2) Рассмотрим выражение: \( 16x^2 + 24x + 25 \)

2.1. Попробуем привести его к полному квадрату. Для этого добавим и вычтем \( 9 \) (это квадрат половины коэффициента при \( x \), то есть \( \frac{24}{2 \cdot 4} = 3 \), и его квадрат \( 3^2 = 9 \)):

\( 16x^2 + 24x + 9 + 16 = 0 \)

2.2. Теперь можно записать выражение в виде полного квадрата:

\( (4x + 3)^2 + 16 = 0 \)

2.3. Мы знаем, что квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть для всех \( x \) выполняется неравенство \( (4x + 3)^2 \ge 0 \). Следовательно, выражение \( (4x + 3)^2 + 16 \) всегда больше или равно 16, так как к квадрату прибавляется 16, то есть \( (4x + 3)^2 + 16 \ge 0 \) при всех \( x \).

2.4. Наименьшее значение выражение \( (4x + 3)^2 + 16 \) примет, когда \( (4x + 3)^2 = 0 \), то есть когда \( 4x + 3 = 0 \), откуда \( 4x = -3 \), и \( x = -\frac{3}{4} \). Подставим \( x = -\frac{3}{4} \) в выражение для \( f(x) \):

\( f\left( -\frac{3}{4} \right) = (4 \cdot -\frac{3}{4} + 3)^2 + 16 = 0 + 16 = 16 \)

2.5. Таким образом, наименьшее значение выражение \( f(x) = 16x^2 + 24x + 25 \) равно 16 и оно достигается при \( x = -\frac{3}{4} \).

3) Рассмотрим выражение: \( x^2 + x + 1 \)

3.1. Попробуем привести его к полному квадрату. Для этого добавим и вычтем \( \frac{1}{4} \) (это квадрат половины коэффициента при \( x \), то есть \( \frac{1}{2} \), и его квадрат \( \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \)):

\( x^2 + 2x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} — \frac{1}{4} + 1 = 0 \)

3.2. Теперь можно записать выражение в виде полного квадрата:

\( \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} = 0 \)

3.3. Мы знаем, что квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть для всех \( x \) выполняется неравенство \( \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 \ge 0 \). Следовательно, выражение \( \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \) всегда больше или равно \( \frac{3}{4} \), так как к квадрату прибавляется \( \frac{3}{4} \), то есть \( \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} \) при всех \( x \).

3.4. Наименьшее значение выражение \( \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \) примет, когда \( \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 = 0 \), то есть когда \( x + \frac{1}{2} = 0 \), откуда \( x = -\frac{1}{2} \). Подставим \( x = -\frac{1}{2} \) в выражение для \( f(x) \):

\( f\left( -\frac{1}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} = 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \)

3.5. Таким образом, наименьшее значение выражение \( f(x) = x^2 + x + 1 \) равно \( \frac{3}{4} \) и оно достигается при \( x = -0,5 \).

Ответ: 1) 1 при \( x = 3; \) 2) 16 при \( x = -\frac{3}{4}; \) 3) \( \frac{3}{4} \) при \( x = -0,5. \)