ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Может ли принимать отрицательные значения выражение:

1) \(x^2 — 24x + 144 \)

2) \(4x^2 + 20x + 28 \)

1) \(x^2 — 24x + 144 = (x — 12)^2 \ge 0\) при всех \(x\).

Значит, данное выражение не может принимать отрицательные значения.

2) \(4x^2 + 20x + 28 = 4x^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 25 + 3 = (2x + 5)^2 + 3 > 0\) при всех \(x\), так как \((2x + 5)^2 \ge 0\) и \(3 > 0\).

Значит, данное выражение не может принимать отрицательные значения.

Ответ: не может.

1) \(x^2 — 24x + 144 = (x — 12)^2 \ge 0\)

Первое выражение \(x^2 — 24x + 144\) представляет собой квадратное выражение, которое можно переписать в виде квадрата: \( (x — 12)^2 \). Это выражение всегда неотрицательно, поскольку квадрат любого числа не может быть меньше нуля.

Для того чтобы доказать это, рассмотрим, что происходит при любом значении \(x\):

1. Подставим любое значение \(x\) в выражение \((x — 12)^2\), например, \(x = 12\):

• \((12 — 12)^2 = 0^2 = 0\) — результат равен нулю.

2. Для любых других значений \(x\), например \(x = 0\) или \(x = 100\), выражение будет больше нуля:

• \((0 — 12)^2 = (-12)^2 = 144 > 0\)
• \((100 — 12)^2 = (88)^2 = 7744 > 0\)

Таким образом, для всех \(x\) выражение \((x — 12)^2 \ge 0\). Это означает, что данное выражение не может принимать отрицательные значения. Более того, оно всегда либо равно нулю, либо больше нуля.

2) \(4x^2 + 20x + 28 = 4x^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 25 + 3 = (2x + 5)^2 + 3 > 0\)

Второе выражение можно упростить следующим образом. Начнем с его раскрытия:

• Исходное выражение: \( 4x^2 + 20x + 28 \)
• Разложим на полный квадрат: \( 4x^2 + 20x + 28 = (2x + 5)^2 + 3 \)

Теперь рассмотрим выражение \((2x + 5)^2 + 3\):

<li\>(2x + 5)^2 \ge 0\), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.
• При этом \(3 > 0\), то есть постоянная добавленная величина тоже положительна.

Таким образом, сумма \((2x + 5)^2 + 3\) всегда больше нуля для всех значений \(x\).

Для наглядности рассмотрим несколько значений \(x\):

• При \(x = 0\): \((2 \cdot 0 + 5)^2 + 3 = 5^2 + 3 = 25 + 3 = 28 > 0\)
• При \(x = -1\): \((2 \cdot (-1) + 5)^2 + 3 = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 > 0\)

Таким образом, выражение \((2x + 5)^2 + 3\) всегда положительно, что также подтверждает, что оно не может принимать отрицательные значения.

Вывод

Таким образом, оба выражения не могут принимать отрицательные значения при любом значении \(x\). Это связано с тем, что первое выражение представляет собой квадрат, а второе — сумму квадрата и положительной константы. В обоих случаях результат всегда неотрицателен.