ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях x. Укажите, какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении x:

1) \( -x^2 + 4x — 12  \)

2) \( 22x — 121x^2 — 2  \)

3) \( -56 — 36x^2 — 84x  \)

1) \( -x^2 + 4x — 12 = -(x^2 — 4x + 12) = -(x^2 — 4x + 4 + 8) = \)

\( = -(x — 2)^2 — 8 < 0 \) при всех \( x, \) так как \( (-(x — 2)^2) \le 0 \) и \( (-8) < 0. \)

Наибольшее значение равно \( (-8) \) при \( x = 2. \)

2) \( 22x — 121x^2 — 2 = -(121x^2 — 22x + 2) = \)

\( = -(121x^2 — 2 \cdot 11x \cdot 1 + 1 + 1) = -(11x — 1)^2 — 1 < 0 \) при всех \( x, \) так как \( (-(11x — 1)^2) \le 0 \) и \( (-1) < 0. \)

Наибольшее значение равно \( (-1) \) при:

\( 11x — 1 = 0 \Longrightarrow 11x = 1 \Longrightarrow x = \frac{1}{11}. \)

3) \( -56 — 36x^2 — 84x = -(36x^2 + 84x + 56) = \)

\( = -(36x^2 + 84x + 49 + 7) = -(6x + 7)^2 — 7 < 0 \) при всех \( x, \) так как \( (-(6x + 7)^2) \le 0 \) и \( (-7) < 0. \)

Наибольшее значение равно \( (-7) \) при:

\( 6x + 7 = 0 \Longrightarrow 6x = -7 \Longrightarrow x = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6}. \)

Ответ: 1) \( -8 \) при \( x = 2; \) 2) \( -1 \) при \( x = \frac{1}{11}; \) 3) \( -7 \) при \( x = -1\frac{1}{6}. \

1) Преобразуем выражение \( -x^2 + 4x — 12 \):

Приводим его к виду полного квадрата. Сначала выделим полный квадрат в части \( -x^2 + 4x \). Выносим общий множитель:

\( -x^2 + 4x = -(x^2 — 4x) \).

Теперь добавим и вычтем число, которое сделает выражение в скобках полным квадратом. Для этого берем половину коэффициента при \( x \) (в данном случае \( 4 \)) и возводим её в квадрат, получаем \( \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4 \). Добавляем и вычитаем 4:

\( -(x^2 — 4x) = -(x^2 — 4x + 4 — 4) = -( (x — 2)^2 — 4 ) \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( -x^2 + 4x — 12 = -( (x — 2)^2 — 4 ) — 12 \).

Раскроем скобки:

\( = -(x — 2)^2 + 4 — 12 = -(x — 2)^2 — 8 \).

Таким образом, выражение примет вид \( -(x — 2)^2 — 8 \).

Анализируем полученное выражение. Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть \( (x — 2)^2 \geq 0 \), получается, что \( -(x — 2)^2 \leq 0 \), а \( -8 \) — это постоянное отрицательное число. Следовательно, сумма этих двух частей всегда будет меньше или равна \( -8 \). Таким образом, выражение всегда принимает отрицательные значения при всех \( x \). Наибольшее значение равно \( -8 \), и оно достигается при \( x = 2 \), когда \( (x — 2)^2 = 0 \).

Ответ: \( -8 \) при \( x = 2 \).

2) Преобразуем выражение \( 22x — 121x^2 — 2 \):

Приводим его к виду полного квадрата. Сначала выделим полный квадрат в части \( 121x^2 — 22x \). Мы имеем:

\( 121x^2 — 22x = 121x^2 — 2 \cdot 11x \cdot 1 + 1 + 1 = (11x — 1)^2 — 1 \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( 22x — 121x^2 — 2 = -(121x^2 — 22x + 2) = -( (11x — 1)^2 — 1 ) \).

Раскроем скобки:

\( = -(11x — 1)^2 + 1 — 1 = -(11x — 1)^2 — 1 \).

Таким образом, выражение примет вид \( -(11x — 1)^2 — 1 \).

Анализируем полученное выражение. Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть \( (11x — 1)^2 \geq 0 \), получается, что \( -(11x — 1)^2 \leq 0 \), а \( -1 \) — это постоянное отрицательное число. Следовательно, выражение всегда будет меньше или равно \( -1 \). Наибольшее значение этого выражения равно \( -1 \), и оно достигается при \( 11x — 1 = 0 \), то есть при \( x = \frac{1}{11} \).

Ответ: \( -1 \) при \( x = \frac{1}{11} \).

3) Преобразуем выражение \( -56 — 36x^2 — 84x \):

Приводим его к виду полного квадрата. Сначала выделим полный квадрат в части \( 36x^2 + 84x \). Мы имеем:

\( 36x^2 + 84x = 36x^2 + 2 \cdot 6x \cdot 7 + 49 = (6x + 7)^2 \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( -56 — 36x^2 — 84x = -(36x^2 + 84x + 56) = -( (6x + 7)^2 + 7 ) \).

Раскроем скобки:

\( = -(6x + 7)^2 — 7 \).

Таким образом, выражение примет вид \( -(6x + 7)^2 — 7 \).

Анализируем полученное выражение. Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть \( (6x + 7)^2 \geq 0 \), получается, что \( -(6x + 7)^2 \leq 0 \), а \( -7 \) — это постоянное отрицательное число. Следовательно, выражение всегда будет меньше или равно \( -7 \). Наибольшее значение этого выражения равно \( -7 \), и оно достигается при \( 6x + 7 = 0 \), то есть при \( x = -\frac{7}{6} \), что также можно записать как \( x = -1\frac{1}{6} \).

Ответ: \( -7 \) при \( x = -1\frac{1}{6} \).

Итоговый ответ:

1) \( -8 \) при \( x = 2 \);

2) \( -1 \) при \( x = \frac{1}{11} \);

3) \( -7 \) при \( x = -1\frac{1}{6} \).