ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Может ли принимать положительные значения выражение:

1) \( -x^2 + 20x — 100  \)

2) \( -x^2 — 10 — 4x   \)

1) \( -x^2 + 20x — 100 = -(x^2 — 20x + 100) = -(x — 10)^2 \le 0 \) при всех \( x. \)

Значит, данное выражение не может принимать положительные значения.

2) \( -x^2 — 10 — 4x = -(x^2 + 4x + 10) = -(x^2 + 4x + 4 + 6) = \)

\( = -(x + 2)^2 — 6 < 0 \) при всех \( x. \)

Значит, данное выражение не может принимать положительные значения.

Ответ: не может.

Рассмотрим два выражения и проанализируем, могут ли они принимать положительные значения для всех значений переменной \( x \).

1) Выражение: \( -x^2 + 20x — 100 \)

Первым шагом является приведение этого выражения к более удобному виду. Начнем с того, что перепишем его так, чтобы выделить полный квадрат. Мы имеем выражение:

\( -x^2 + 20x — 100 \)

Это выражение можно записать как:

\( -(x^2 — 20x + 100) \)

Теперь выделим полный квадрат внутри скобок. Мы видим, что это выражение имеет вид \( (x — 10)^2 \), так как:

\( x^2 — 20x + 100 = (x — 10)^2 \)

Таким образом, выражение превращается в:

\( -(x — 10)^2 \)

Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то выражение \( (x — 10)^2 \geq 0 \) для всех значений \( x \). Следовательно, выражение \( -(x — 10)^2 \) всегда меньше или равно нулю, то есть:

\( -(x — 10)^2 \leq 0 \)

Таким образом, выражение \( -x^2 + 20x — 100 \) не может быть положительным, так как оно всегда меньше либо равно нулю.

Значит, данное выражение не может принимать положительные значения для любых значений \( x \).

2) Выражение: \( -x^2 — 10 — 4x \)

Теперь рассмотрим второе выражение. Начнем с того, что выразим его в удобном виде:

\( -x^2 — 10 — 4x \)

Можно сгруппировать члены и записать это выражение как:

\( -(x^2 + 4x + 10) \)

Теперь попробуем упростить выражение внутри скобок. Мы видим, что можно выделить полный квадрат, добавив и вычтя \( 4 \), так как:

\( x^2 + 4x = (x + 2)^2 — 4 \)

Таким образом, выражение внутри скобок можно записать как:

\( x^2 + 4x + 10 = (x + 2)^2 — 4 + 10 = (x + 2)^2 + 6 \)

Теперь подставим это в исходное выражение, получив:

\( -(x + 2)^2 — 6 \)

Как и в первом случае, квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть \( (x + 2)^2 \geq 0 \). Следовательно, выражение \( -(x + 2)^2 \) всегда меньше или равно нулю, а выражение \( -(x + 2)^2 — 6 \) всегда меньше или равно -6, то есть:

\( -(x + 2)^2 — 6 < 0 \)

Таким образом, выражение \( -x^2 — 10 — 4x \) всегда отрицательно, так как оно всегда меньше нуля.

Значит, данное выражение также не может принимать положительные значения для любых значений \( x \).

Ответ: не может.