ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:

1) \( -x^2 — 16x + 36  \)

2) \( 2 — 16x^2 + 24x  \)

1) \( -x^2 — 16x + 36 = -(x^2 + 16x — 36) = -(x^2 + 16x + 64 — 100) = \)

\( = -(x + 8)^2 + 100. \)

Наибольшее значение равно 100 при \( x = -8. \)

2) \( 2 — 16x^2 + 24x = -(16x^2 — 24x — 2) = -(16x^2 — 24x + 9 — 11) = \)

\( = -(4x — 3)^2 + 11. \)

Наибольшее значение равно 11 при:

\( 4x — 3 = 0 \Longrightarrow 4x = 3 \Longrightarrow x = \frac{3}{4}. \)

Задано два выражения, и необходимо найти наибольшее значение каждого из них и при каких значениях переменной \( x \) оно достигается.

1) Рассмотрим выражение: \( -x^2 — 16x + 36 \).

Первым шагом преобразуем выражение, чтобы выделить полный квадрат. Мы имеем:

\( -x^2 — 16x + 36 \).

Выделим полный квадрат внутри скобок. Для этого добавим и вычтем \( 64 \), так как \( 16x \) можно записать как \( 2 \cdot 8x \), и \( 8^2 = 64 \). Тогда мы получаем:

\( -\left( x^2 + 16x + 64 \right) + 36 + 64 \).

Теперь можем упростить это выражение, записав его как:

\( -(x + 8)^2 + 100 \).

Мы видим, что \( (x + 8)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Следовательно, наибольшее значение выражения \( -(x + 8)^2 + 100 \) будет достигаться, когда \( (x + 8)^2 = 0 \), то есть при \( x = -8 \). Подставим это значение в исходное выражение:

\( -(0) + 100 = 100 \).

Таким образом, наибольшее значение этого выражения равно 100, и оно достигается при \( x = -8 \).

2) Рассмотрим второе выражение: \( 2 — 16x^2 + 24x \).

Перепишем его в более удобной форме, выделяя полный квадрат. Для этого сначала выделим общие множители. Мы имеем:

\( 2 — 16x^2 + 24x \).

Мы можем вынести \( -1 \) за скобки:

\( -\left( 16x^2 — 24x — 2 \right) \).

Теперь выделим полный квадрат в выражении внутри скобок. Для этого добавим и вычтем \( 9 \), так как \( \left( \frac{24}{2 \cdot 16} \right)^2 = \frac{9}{16} \). Таким образом, получаем:

\( -\left( 16x^2 — 24x + 9 — 11 \right) \)

Приводим это к следующему виду:

\( = -(4x — 3)^2 + 11 \).

Теперь мы видим, что \( (4x — 3)^2 \geq 0 \) для всех \( x \). Следовательно, наибольшее значение выражения \( -(4x — 3)^2 + 11 \) будет достигаться, когда \( (4x — 3)^2 = 0 \), то есть при \( 4x — 3 = 0 \). Решим это уравнение:

\( 4x — 3 = 0 \Longrightarrow 4x = 3 \Longrightarrow x = \frac{3}{4} \).

Подставим это значение в исходное выражение:

\( -(0) + 11 = 11 \).

Таким образом, наибольшее значение этого выражения равно 11, и оно достигается при \( x = \frac{3}{4} \).

Ответ:

1) Наибольшее значение равно 100 при \( x = -8 \).

2) Наибольшее значение равно 11 при \( x = \frac{3}{4} \).