ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:

1) \( x^2 — 28x + 200 \)

2) \( 9x^2 + 30x — 25  \)

1) \( x^2 — 28x + 200 = x^2 — 28x + 196 + 4 = (x — 14)^2 + 4. \)

Наименьшее значение равно 4 при \( x = 14. \)

2) \( 9x^2 + 30x — 25 = 9x^2 + 30x + 25 — 50 = (3x + 5)^2 — 50. \)

Наименьшее значение равно \( (-50) \) при:

\( 3x + 5 = 0 \Longrightarrow 3x = -5 \Longrightarrow x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}. \)

Рассмотрим два выражения и найдём наименьшее значение каждого из них, а также при каких значениях переменной \( x \) оно достигается.

1) Рассмотрим выражение \( x^2 — 28x + 200 \).

Первым шагом преобразуем его в более удобный вид, выделяя полный квадрат. Для этого начнём с того, что перепишем выражение следующим образом:

\( x^2 — 28x + 200 \)

Затем выделим полный квадрат для первых двух членов. Для этого добавим и вычтем \( 196 \), так как половина коэффициента при \( x \) (то есть \( \frac{-28}{2} = -14 \)) в квадрате даёт \( (-14)^2 = 196 \). Таким образом, получаем:

\( x^2 — 28x + 196 + 200 — 196 \)

Теперь это выражение можно записать как:

\( (x — 14)^2 + 4 \)

Мы видим, что \( (x — 14)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Таким образом, наименьшее значение выражения \( (x — 14)^2 + 4 \) будет достигаться, когда \( (x — 14)^2 = 0 \), то есть при \( x = 14 \). Подставим это значение в исходное выражение:

\( (14 — 14)^2 + 4 = 0 + 4 = 4 \)

Таким образом, наименьшее значение этого выражения равно 4, и оно достигается при \( x = 14 \).

2) Рассмотрим выражение \( 9x^2 + 30x — 25 \).

Первым шагом перепишем его в более удобной форме. Для этого выделим полный квадрат. Начнём с того, что перепишем выражение следующим образом:

\( 9x^2 + 30x — 25 \)

Мы можем вынести 9 за скобки из первых двух членов, чтобы упростить выражение:

\( 9(x^2 + \frac{30}{9}x) — 25 \)

Теперь у нас есть выражение \( x^2 + \frac{10}{3}x \), которое нужно преобразовать в полный квадрат. Добавим и вычтем \( \left( \frac{5}{3} \right)^2 = \frac{25}{9} \), чтобы завершить выделение полного квадрата:

\( 9\left(x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{25}{9} — \frac{25}{9}\right) — 25 \)

Теперь выражение принимает вид:

\( 9\left( \left( x + \frac{5}{3} \right)^2 — \frac{25}{9} \right) — 25 \)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\( 9\left( x + \frac{5}{3} \right)^2 — 25 — 25 = 9\left( x + \frac{5}{3} \right)^2 — 50 \)

Теперь мы видим, что \( \left( x + \frac{5}{3} \right)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Следовательно, наименьшее значение выражения \( 9\left( x + \frac{5}{3} \right)^2 — 50 \) будет достигаться, когда \( \left( x + \frac{5}{3} \right)^2 = 0 \), то есть при \( x = -\frac{5}{3} \). Подставим это значение в исходное выражение:

\( 9(0) — 50 = -50 \)

Таким образом, наименьшее значение этого выражения равно \( -50 \), и оно достигается при \( x = -1\frac{2}{3}\).

Ответ:

1) Наименьшее значение равно 4 при \( x = 14 \).

2) Наименьшее значение равно \( -50 \) при \( x = -1\frac{2}{3} \).