ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте многочлен в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений:

1) \( a^2 + 2a + 1\)

2) \( x^2 — 12x + 36  \)

3) \( y^2 — 18y + 81 \)

4) \( 100 — 20c + c^2 \)

5) \( a^2 — 6ab + 9b^2\)

6) \( 9a^2 — 30ab + 25b^2 \)

7) \( b^4 — 2b^2c + c^2 \)

8) \( m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4  \)

9) \( 36a^2b^2 — 12ab + 1 \)

10) \( x^4 + 2x^2 + 1  \)

11) \( \frac{1}{16}x^4 — 2x^2y^3 + 16y^6  \)

12) \( 0,01a^8 + 25b^{14} — a^4b^7  \)

1) \( a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2; \)

2) \( x^2 — 12x + 36 = x^2 — 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x — 6)^2; \)

3) \( y^2 — 18y + 81 = y^2 — 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = (y — 9)^2; \)

4) \( 100 — 20c + c^2 = 10^2 — 2 \cdot 10 \cdot c + c^2 = (10 — c)^2; \)

5) \( a^2 — 6ab + 9b^2 = a^2 — 2a \cdot 3b + (3b)^2 = (a — 3b)^2; \)

6) \( 9a^2 — 30ab + 25b^2 = (3a)^2 — 2 \cdot 3a \cdot 5b + (5b)^2 = (3a — 5b)^2; \)

7) \( b^4 — 2b^2c + c^2 = (b^2)^2 — 2 \cdot b^2 \cdot c + c^2 = (b^2 — c)^2; \)

8) \( m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4 = (m^4)^2 + 2 \cdot m^4 \cdot \frac{1}{2}n^2 + \left(\frac{1}{2}n^2\right)^2 = \)
\( = \left(m^4 + \frac{1}{2}n^2\right)^2; \)

9) \( 36a^2b^2 — 12ab + 1 = (6ab)^2 — 2 \cdot 6ab \cdot 1 + 1^2 = (6ab — 1)^2; \)

10) \( x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2)^2 + 2x^2 \cdot 1 + 1^2 = (x^2 + 1)^2; \)

11) \( \frac{1}{16}x^4 — 2x^2y^3 + 16y^6 = \left(\frac{1}{4}x^2\right)^2 — 2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 4y^3 + (4y^3)^2 = \)
\( = \left(\frac{1}{4}x^2 — 4y^3\right)^2; \)

12) \( 0,01a^8 + 25b^{14} — a^4b^7 = (0,1a^4)^2 — 2 \cdot 0,1a^4 \cdot 5b^7 + (5b^7)^2 = \)
\( = (0,1a^4 — 5b^7)^2. \)

Для того чтобы представить многочлен в виде квадрата суммы или квадрата разности, мы должны найти такие выражения, которые при возведении в квадрат дадут исходный многочлен. Рассмотрим каждый многочлен по очереди и разберемся, как можно преобразовать его в квадрат суммы или разности.

1) Рассмотрим многочлен \(a^2 + 2a + 1\). Мы видим, что этот многочлен имеет форму, схожую с квадратом суммы. Чтобы убедиться в этом, представим его как:

\(a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2\)

Здесь \(a^2\) — это квадрат первого члена, \(2a\) — удвоенное произведение первого и второго члена, а 1 — квадрат второго члена. Это соответствует общей формуле квадрата суммы, которая записывается как \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Таким образом, исходный многочлен можно записать как квадрат суммы \(a + 1\).

2) Рассмотрим многочлен \(x^2 — 12x + 36\). Это выражение может быть представлено как квадрат разности. Чтобы показать это, преобразуем его в форму квадрата разности:

\(x^2 — 12x + 36 = (x — 6)^2\)

Здесь \(x^2\) — это квадрат первого члена, \(-12x\) — удвоенное произведение первого и второго члена с минусом, а 36 — квадрат второго члена. Это соответствует общей формуле квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Таким образом, исходный многочлен можно записать как квадрат разности \(x — 6\).

3) Рассмотрим многочлен \(y^2 — 18y + 81\). Мы видим, что это выражение имеет форму квадрата разности. Представим его как:

\(y^2 — 18y + 81 = (y — 9)^2\)

Здесь \(y^2\) — это квадрат первого члена, \(-18y\) — удвоенное произведение первого и второго члена с минусом, а 81 — квадрат второго члена. Это соответствует формуле квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Таким образом, многочлен \(y^2 — 18y + 81\) можно записать как квадрат разности \(y — 9\).

4) Рассмотрим многочлен \(100 — 20c + c^2\). Этот многочлен также можно представить как квадрат разности. Преобразуем его в следующую форму:

\(100 — 20c + c^2 = (10 — c)^2\)

Здесь 100 — это квадрат первого члена, \(-20c\) — удвоенное произведение первого и второго члена с минусом, а \(c^2\) — квадрат второго члена. Это совпадает с формой квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Следовательно, многочлен можно записать как квадрат разности \(10 — c\).

5) Рассмотрим многочлен \(a^2 — 6ab + 9b^2\). Этот многочлен имеет форму квадрата разности. Представим его в виде:

\(a^2 — 6ab + 9b^2 = (a — 3b)^2\)

Здесь \(a^2\) — это квадрат первого члена, \(-6ab\) — удвоенное произведение первого и второго члена с минусом, а \(9b^2\) — квадрат второго члена. Это соответствует формуле квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Таким образом, выражение можно представить как квадрат разности \(a — 3b\).

6) Рассмотрим многочлен \(9a^2 — 30ab + 25b^2\). Это выражение можно преобразовать в квадрат разности. Представим его как:

\(9a^2 — 30ab + 25b^2 = (3a — 5b)^2\)

Здесь \(9a^2\) — это квадрат первого члена, \(-30ab\) — удвоенное произведение первого и второго члена с минусом, а \(25b^2\) — квадрат второго члена. Это соответствует формуле квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Таким образом, выражение можно записать как квадрат разности \(3a — 5b\).

7) Рассмотрим многочлен \(b^4 — 2b^2c + c^2\). Это выражение можно представить как квадрат разности, преобразуем его в форму:

\(b^4 — 2b^2c + c^2 = (b^2 — c)^2\)

Здесь \(b^4\) — это квадрат первого члена, \(-2b^2c\) — удвоенное произведение первого и второго члена с минусом, а \(c^2\) — квадрат второго члена. Это совпадает с формой квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Таким образом, исходное выражение можно записать как квадрат разности \(b^2 — c\).

8) Рассмотрим многочлен \(m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4\). Это выражение может быть представлено как квадрат суммы. Преобразуем его в форму квадрата суммы:

\(m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4 = (m^4 + \frac{1}{2}n^2)^2\)

Здесь \(m^8\) — это квадрат первого члена, \(m^4n^2\) — удвоенное произведение первого и второго члена, а \(\frac{1}{4}n^4\) — квадрат второго члена. Это совпадает с формой квадрата суммы \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Следовательно, многочлен можно представить как квадрат суммы \(m^4 + \frac{1}{2}n^2\).

9) Рассмотрим многочлен \(36a^2b^2 — 12ab + 1\). Это выражение может быть представлено как квадрат разности. Преобразуем его в следующее выражение:

\(36a^2b^2 — 12ab + 1 = (6ab — 1)^2\)

Здесь \(36a^2b^2\) — это квадрат первого члена, \(-12ab\) — удвоенное произведение первого и второго члена с минусом, а 1 — квадрат второго члена. Это соответствует формуле квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Таким образом, многочлен можно записать как квадрат разности \(6ab — 1\).

10) Рассмотрим многочлен \(x^4 + 2x^2 + 1\). Это выражение можно представить как квадрат суммы:

\(x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2\)

Здесь \(x^4\) — это квадрат первого члена, \(2x^2\) — удвоенное произведение первого и второго члена, а 1 — квадрат второго члена. Это совпадает с формой квадрата суммы \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Таким образом, выражение можно записать как квадрат суммы \(x^2 + 1\).

11) Рассмотрим многочлен \(\frac{1}{16}x^4 — 2x^2y^3 + 16y^6\). Это выражение может быть представлено как квадрат разности. Преобразуем его в форму:

\(\frac{1}{16}x^4 — 2x^2y^3 + 16y^6 = \left(\frac{1}{4}x^2 — 4y^3\right)^2\)

Здесь \(\frac{1}{16}x^4\) — это квадрат первого члена, \(-2x^2y^3\) — удвоенное произведение первого и второго члена с минусом, а \(16y^6\) — квадрат второго члена. Это совпадает с формой квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Таким образом, многочлен можно записать как квадрат разности \(\frac{1}{4}x^2 — 4y^3\).

12) Рассмотрим многочлен \(0,01a^8 + 25b^{14} — a^4b^7\). Это выражение может быть представлено как квадрат разности. Преобразуем его в следующую форму:

\(0,01a^8 + 25b^{14} — a^4b^7 = (0,1a^4 — 5b^7)^2\)

Здесь \(0,01a^8\) — это квадрат первого члена, \(-a^4b^7\) — удвоенное произведение первого и второго члена с минусом, а \(25b^{14}\) — квадрат второго члена. Это совпадает с формой квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Следовательно, многочлен можно записать как квадрат разности \(0,1a^4 — 5b^7\).