ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях x и y равно нулю значение многочлена:

1) \(x^2 + y^2 + 8x — 10y + 41 \)

2) \(x^2 + 37y^2 + 12xy — 2y + 1 \)

1) \(x^2 + y^2 + 8x — 10y + 41 = 0\)

\((x^2 + 8x + 16) + (y^2 — 10y + 25) = 0\)

\((x + 4)^2 + (y — 5)^2 = 0\)

\(x + 4 = 0\) и \(y — 5 = 0\)

\(x = -4\) \(\qquad\) \(y = 5.\)

Ответ: при \(x = -4\) и \(y = 5.\)

2) \(x^2 + 37y^2 + 12xy — 2y + 1 = 0\)

\((x^2 + 12xy + 36y^2) + (y^2 — 2y + 1) = 0\)

\((x + 6y)^2 + (y — 1)^2 = 0\)

\(x + 6y = 0\) и \(y — 1 = 0\)

\(x = -6y\) \(\qquad\) \(y = 1\)

\(x = -6.\)

Ответ: при \(x = -6\) и \(y = 1.\)

Найти, при каких значениях \(x\) и \(y\) значение многочлена равно нулю.

Многочлен имеет вид:

\( P(x, y) = x^2 + y^2 + 8x — 10y + 41 \)

1) Начнем с того, что выражение можно преобразовать в более удобную форму для нахождения корней. Попробуем привести его к полным квадратам.

Перепишем первый член \(x^2 + 8x\). Для этого добавим и вычтем 16, чтобы получить полный квадрат:

\(x^2 + 8x = (x + 4)^2 — 16\)

Теперь перепишем второй член \(y^2 — 10y\). Для этого добавим и вычтем 25, чтобы также получить полный квадрат:

\(y^2 — 10y = (y — 5)^2 — 25\)

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

\( (x + 4)^2 — 16 + (y — 5)^2 — 25 + 41 = 0 \)

Приводим подобные:

\( (x + 4)^2 + (y — 5)^2 — 16 — 25 + 41 = 0 \)

\( (x + 4)^2 + (y — 5)^2 = 0 \)

Так как сумма квадратов двух чисел равна нулю только в том случае, если каждое из чисел равно нулю, получаем систему уравнений:

\( x + 4 = 0 \) и \( y — 5 = 0 \)

Решая эту систему, находим:

\( x = -4 \) и \( y = 5 \)

Ответ: при \(x = -4\) и \(y = 5\) значение многочлена равно нулю.

2) Рассмотрим второй пример. Пусть у нас есть следующий многочлен:

\( P(x, y) = x^2 + 37y^2 + 12xy — 2y + 1 \)

Применим аналогичные преобразования для этого многочлена. Начнем с того, что соберем подобные члены:

\( x^2 + 12xy + 37y^2 — 2y + 1 = 0 \)

Теперь попробуем группировать члены, которые могут быть приведены к полным квадратам. Первую группу \(x^2 + 12xy + 36y^2\) можно представить как полный квадрат:

\( x^2 + 12xy + 36y^2 = (x + 6y)^2 \)

Теперь рассмотрим оставшиеся члены \(37y^2 — 2y + 1\). Попробуем привести к полному квадрату. Для этого дополнительно выделим 36 из выражения \(37y^2\):

\( 37y^2 — 2y + 1 = 36y^2 + y^2 — 2y + 1 = (y — 1)^2 \)

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\( (x + 6y)^2 + (y — 1)^2 = 0 \)

Поскольку сумма квадратов равна нулю только в случае, если оба квадрата равны нулю, получаем систему уравнений:

\( x + 6y = 0 \) и \( y — 1 = 0 \)

Решая эту систему, получаем:

\( y = 1 \)

Подставляем это значение в первое уравнение: \( x + 6 \times 1 = 0 \), отсюда \( x = -6 \).

Ответ: при \(x = -6\) и \(y = 1\) значение многочлена равно нулю.