ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существуют ли такие значения x и y, при которых равно нулю значение многочлена:

1) \(x^2 + 4y^2 + 2x — 4y + 2 = 0\)

2) \(9x^2 + y^2 — 12x + 8y + 21 = 0\)

1) \(x^2 + 4y^2 + 2x — 4y + 2 = 0\)

\((x^2 + 2x + 1) + (4y^2 — 4y + 1) = 0\)

\((x + 1)^2 + (2y — 1)^2 = 0\)

\(x + 1 = 0\) и \(2y — 1 = 0\)

\(x = -1\) \(\qquad\) \(2y = 1\)

\(\qquad\qquad y = 0,5.\)

Ответ: при \(x = -1\) и \(y = 0,5.\)

2) \(9x^2 + y^2 — 12x + 8y + 21 = 0\)

\((9x^2 — 12x + 4) + (y^2 + 8y + 16) + 1 = 0\)

\((3x — 2)^2 + (y + 4)^2 = -1 \to\) таких значений \(x\) и \(y\) не существует, так как \((3x — 2)^2 \ge 0\) и \((y + 4)^2 \ge 0.\)

Ответ: таких значений не существует.

Существуют ли такие значения \(x\) и \(y\), при которых значение многочлена равно нулю?

1) Рассмотрим первый многочлен:

\( P(x, y) = x^2 + 4y^2 + 2x — 4y + 2 \)

Для нахождения значений \(x\) и \(y\), при которых многочлен равен нулю, преобразуем его в более удобную форму.

1. Начнем с выражения \(x^2 + 2x\). Чтобы привести его к полному квадрату, добавим и вычтем 1:

\(x^2 + 2x = (x + 1)^2 — 1\)

2. Теперь рассмотрим выражение \(4y^2 — 4y\). Чтобы привести его к полному квадрату, вынесем 4 и добавим и вычтем 1 внутри скобок:

\(4y^2 — 4y = 4(y^2 — y) = 4((y — \frac{1}{2})^2 — \frac{1}{4}) = 4(y — \frac{1}{2})^2 — 1\)

3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

\( (x + 1)^2 — 1 + 4(y — \frac{1}{2})^2 — 1 + 2 = 0 \)

4. Приводим подобные:

\( (x + 1)^2 + 4(y — \frac{1}{2})^2 = 0 \)

5. Так как сумма квадратов двух чисел равна нулю только в том случае, если каждое из чисел равно нулю, получаем систему уравнений:

\(x + 1 = 0\) и \(y — \frac{1}{2} = 0\)

6. Решая эту систему уравнений, находим:

\(x = -1\) и \(y = 0,5\)

Ответ: существует только одно решение, при котором значение многочлена равно нулю, а именно \(x = -1\) и \(y = 0,5\).

2) Теперь рассмотрим второй многочлен:

\( P(x, y) = 9x^2 + y^2 — 12x + 8y + 21 \)

1. Попробуем привести выражение \(9x^2 — 12x\) к полному квадрату. Для этого выделим полный квадрат из первых трех членов, добавив и вычтя 4:

\(9x^2 — 12x = 9(x^2 — \frac{4}{3}x) = 9\left(\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — \frac{4}{9}\right) = 9\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — 4\)

2. Теперь рассмотрим выражение \(y^2 + 8y\). Чтобы привести его к полному квадрату, добавим и вычтем 16:

\(y^2 + 8y = (y + 4)^2 — 16\)

3. Подставим эти преобразования в исходное уравнение:

\( 9\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 — 4 + (y + 4)^2 — 16 + 21 = 0 \)

4. Приводим подобные:

\( 9\left(x — \frac{2}{3}\right)^2 + (y + 4)^2 + 1 = 0 \)

5. Сумма квадратов не может быть равна отрицательному числу, так как квадраты чисел всегда неотрицательны. Таким образом, уравнение не имеет решений.

Ответ: таких значений \(x\) и \(y\) не существует, при которых значение многочлена равно нулю.