ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

1) \(b^2 — 2b + 1\)

2) \(4 + 4n + n^2\)

3) \(x^2 — 14x + 49\)

4) \(4a^2 + 4ab + b^2\)

5) \(9x^2 — 24xy + 16y^2\)

6) \(a^6 — 2a^3 + 1\)

7) \(36a^6 — 84a^3b^5 + 49b^{10}\)

8) \(81x^4y^8 — 36x^2y^4z^6 + 4z^{12}\)

1) \(b^2 — 2b + 1 = (b — 1)^2;\)

2) \(4 + 4n + n^2 = 2^2 + 2 \cdot 2n + n^2 = (2 + n)^2;\)

3) \(x^2 — 14x + 49 = x^2 — 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x — 7)^2;\)

4) \(4a^2 + 4ab + b^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = (2a + b)^2;\)

5) \(9x^2 — 24xy + 16y^2 = (3x)^2 — 2 \cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2 = (3x — 4y)^2;\)

6) \(a^6 — 2a^3 + 1 = (a^3)^2 — 2 \cdot a^3 \cdot 1 + 1^2 = (a^3 — 1)^2;\)

7) \(36a^6 — 84a^3b^5 + 49b^{10} = (6a^3)^2 — 2 \cdot 6a^3 \cdot 7b^5 + (7b^5)^2 =\)

\(= (6a^3 — 7b^5)^2;\)

8) \(81x^4y^8 — 36x^2y^4z^6 + 4z^{12} = (9x^2y^4)^2 — 2 \cdot 9x^2y^4 \cdot 2z^6 + (2z^6)^2 =\)

\(= (9x^2y^4 — 2z^6).\)

1) \(b^2 — 2b + 1\)

Это стандартный трехчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена. Обратите внимание, что выражение можно переписать следующим образом:

\(b^2 — 2b + 1 = (b — 1)^2\)

Здесь мы видим, что \(b^2\) и \(1\) — это квадратные члены, а \(-2b\) — удвоенное произведение \(b\) и 1. Поэтому исходное выражение — это полный квадрат двучлена \((b — 1)\).

2) \(4 + 4n + n^2\)

Первоначально представим это выражение как сумму:

\(4 + 4n + n^2 = 2^2 + 2 \cdot 2n + n^2\)

Теперь видим, что это разложение на полный квадрат:

\((2 + n)^2\)

Это выражение также можно записать как квадрат двучлена, где \(2\) и \(n\) — это компоненты двучлена, а \(4n\) — это удвоенное произведение этих компонентов.

3) \(x^2 — 14x + 49\)

Сначала заметим, что это выражение также можно привести к полному квадрату:

\(x^2 — 14x + 49 = x^2 — 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2\)

Таким образом, мы получаем следующий квадрат двучлена:

\((x — 7)^2\)

Здесь \(x^2\) и \(49\) — это квадратные члены, а \(-14x\) — удвоенное произведение \(x\) и \(7\), что позволяет представить это выражение как полный квадрат.

4) \(4a^2 + 4ab + b^2\)

Это выражение также легко представляется в виде квадрата двучлена:

\(4a^2 + 4ab + b^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + b^2\)

Теперь видно, что это разложение на квадрат двучлена:

\((2a + b)^2\)

Здесь \(2a\) и \(b\) — это компоненты двучлена, а \(4ab\) — это удвоенное произведение этих компонентов, что позволяет записать выражение в виде полного квадрата.

5) \(9x^2 — 24xy + 16y^2\)

Перепишем выражение следующим образом:

\(9x^2 — 24xy + 16y^2 = (3x)^2 — 2 \cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2\)

Теперь это полное разложение на квадрат двучлена:

\((3x — 4y)^2\)

Здесь \(3x\) и \(4y\) — это компоненты двучлена, а \(-24xy\) — удвоенное произведение этих компонентов, что позволяет получить квадрат двучлена.

6) \(a^6 — 2a^3 + 1\)

Рассмотрим выражение как квадрат куба:

\(a^6 — 2a^3 + 1 = (a^3)^2 — 2 \cdot a^3 \cdot 1 + 1^2\)

Это разложение на полный квадрат куба:

\((a^3 — 1)^2\)

Здесь \(a^3\) и \(1\) — это компоненты двучлена, а \(-2a^3\) — удвоенное произведение этих компонентов, что приводит к полному квадрату.

7) \(36a^6 — 84a^3b^5 + 49b^{10}\)

Это более сложное выражение, но оно также поддается разложению на квадрат двучлена:

\(36a^6 — 84a^3b^5 + 49b^{10} = (6a^3)^2 — 2 \cdot 6a^3 \cdot 7b^5 + (7b^5)^2\)

Теперь это выражение можно записать как:

\((6a^3 — 7b^5)^2\)

Здесь \(6a^3\) и \(7b^5\) — это компоненты двучлена, а \(-84a^3b^5\) — удвоенное произведение этих компонентов, что позволяет представить выражение в виде полного квадрата.

8) \(81x^4y^8 — 36x^2y^4z^6 + 4z^{12}\)

Разложим это выражение следующим образом:

\(81x^4y^8 — 36x^2y^4z^6 + 4z^{12} = (9x^2y^4)^2 — 2 \cdot 9x^2y^4 \cdot 2z^6 + (2z^6)^2\)

Теперь это выражение можно представить как квадрат двучлена:

\((9x^2y^4 — 2z^6)^2\)

Здесь \(9x^2y^4\) и \(2z^6\) — компоненты двучлена, а \(-36x^2y^4z^6\) — удвоенное произведение этих компонентов, что позволяет получить квадрат двучлена.