ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых является суммой квадратов двух целых чисел, можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Пусть даны числа \( m \) и \( n \). Известно, что \( m = a^2 + b^2, n = x^2 + y^2 \).
Тогда:
\( mn = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = a^2x^2 + a^2y^2 + x^2b^2 + b^2y^2 =\)
\(= (ax)^2 + 2abxy + (by)^2 + (ay)^2 — 2abxy + (bx)^2 =\)
\(= (ax + by)^2 + (ay — bx)^2 \to \) что и требовалось доказать.

Докажем, что произведение двух чисел, каждое из которых является суммой квадратов двух целых чисел, можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Пусть даны два числа \( m \) и \( n \), каждое из которых является суммой квадратов двух целых чисел:

\( m = a^2 + b^2 \) и \( n = x^2 + y^2 \), где \( a, b, x, y \) — целые числа.

Нам нужно доказать, что произведение \( mn \) можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Для этого начнем с раскрытия произведения \( mn \):

\( mn = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \)

Используем распределительное свойство умножения:

\( = a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2 \)

Теперь сгруппируем выражения так, чтобы выделить квадратные суммы:

\( = (ax)^2 + (ay)^2 + (bx)^2 + (by)^2 \)

Как мы видим, полученное выражение представляет собой сумму квадратов четырех чисел: \( ax \), \( ay \), \( bx \) и \( by \).

Таким образом, произведение двух чисел \( m \) и \( n \), каждое из которых является суммой квадратов двух целых чисел, можно представить в виде суммы квадратов целых чисел, как и требовалось доказать.