ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте число 24 в виде суммы таких двух чисел, чтобы их произведение было наибольшим.

Пусть одно из чисел равно \( x \), тогда второе число равно \( (24 — x) \).
Значит:
\( x(24 — x) = 24x — x^2 = -x^2 + 24x — 144 + 144 =\)
\(= -(x^2 — 24x + 144) + 144 = -(x — 12)^2 + 144. \)

Наибольшее значение равно \( 144 \) при \( x = 12 \).
Следовательно, \( 24 = 12 + 12 \).
Ответ: \( 24 = 12 + 12 \).

Пусть одно из чисел равно \( x \), тогда второе число будет равно \( 24 — x \), так как их сумма должна быть равна 24:

Тогда произведение этих чисел можно выразить как:

\( P(x) = x(24 — x) \)

Раскроем скобки в выражении для произведения:

\( P(x) = 24x — x^2 \)

Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти значение \( x \), при котором произведение \( P(x) \) будет максимальным. Для этого найдем производную функции \( P(x) \):

\( P'(x) = \frac{d}{dx}(24x — x^2) = 24 — 2x \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку:

\( 24 — 2x = 0 \)

Решим это уравнение:

\( 2x = 24 \)

\( x = 12 \)

Таким образом, наибольшее значение произведения достигается при \( x = 12 \). Подставим это значение в выражение для второго числа:

Второе число будет равно \( 24 — x = 24 — 12 = 12 \).

Теперь проверим, что это действительно максимум, а не минимум. Для этого найдем вторую производную функции \( P(x) \):

\( P»(x) = \frac{d}{dx}(24 — 2x) = -2 \)

Поскольку вторая производная отрицательная, то функция \( P(x) \) имеет максимум при \( x = 12 \).

Таким образом, число 24 можно представить в виде суммы двух чисел \( 12 + 12 \), и их произведение при этом будет максимальным.

Ответ: \( 24 = 12 + 12 \).