ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите стороны прямоугольника, имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников, периметр каждого из которых равен 20 см.

Пусть одна сторона прямоугольника равна \( x \) см, тогда вторая сторона равна \( (20 : 2 — x) = (10 — x) \) см.
Площадь прямоугольника равна:
\( x(10 — x) = 10x — x^2 = -x^2 + 10x — 25 + 25 = -(x^2 — 10x + 25) +\)
\(+ 25 = -(x — 5)^2 + 25. \)

Наибольшая площадь равна \( 25 \) при \( x = 5 \).
Значит, одна сторона прямоугольника равна \( 5 \) см, и вторая сторона равна \( 5 \) см, то есть, данный прямоугольник является квадратом со стороной \( 5 \) см.

Ответ: \( 5 \) см, \( 5 \) см.

Пусть одна сторона прямоугольника равна \( x \) см, а другая сторона — \( y \) см. Периметр прямоугольника равен 20 см, поэтому можем записать следующее уравнение для периметра:

\( 2x + 2y = 20 \)

Упростим это уравнение:

\( x + y = 10 \)

Таким образом, вторая сторона прямоугольника равна \( y = 10 — x \).

Теперь, зная выражение для \( y \), можем записать выражение для площади прямоугольника \( S \), которая равна произведению его сторон:

\( S(x) = x \cdot y = x \cdot (10 — x) \)

Раскроем скобки и получим выражение для площади:

\( S(x) = 10x — x^2 \)

Наша задача — найти максимальное значение площади. Для этого найдем производную функции площади по \( x \), чтобы определить критические точки:

\( \frac{dS}{dx} = \frac{d}{dx}(10x — x^2) = 10 — 2x \)

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку:

\( 10 — 2x = 0 \)

Решим это уравнение:

\( 2x = 10 \)

\( x = 5 \)

Мы нашли, что максимальная площадь достигается при \( x = 5 \). Подставим это значение в выражение для \( y \):

\( y = 10 — x = 10 — 5 = 5 \)

Таким образом, стороны прямоугольника равны \( x = 5 \) см и \( y = 5 \) см. Это означает, что прямоугольник является квадратом.

Теперь проверим, что найденная точка — это максимум. Для этого найдем вторую производную функции площади:

\( \frac{d^2S}{dx^2} = \frac{d}{dx}(10 — 2x) = -2 \)

Поскольку вторая производная отрицательная (\( \frac{d^2S}{dx^2} = -2 \)), это подтверждает, что \( x = 5 \) — точка максимума.

Ответ: Стороны прямоугольника равны \( 5 \) см и \( 5 \) см.