ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.51 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существует ли такое натуральное число n, при котором значение выражения \( 2^8 + 2^{11} + 2^n \) является квадратом натурального числа?

\(2^8 + 2^{11} + 2^n = 2^8(1 + 2^3 + 2^{n-8}) = 2^8(1 + 8 + 2^{n-8}) = \\ = 2^8(9 + 2^{n-8}).\)

Так как \(2^8 = 256\), то \(\sqrt{256} = 16\), то есть, \(2^8\) является квадратом натурального числа.

Значит, выражение \((9 + 2^{n-8})\) тоже должно быть квадратом натурального числа. Это возможно, например, если:

\(2^{n-8} = 16\)

\(2^{n-8} = 2^4\)

\(n — 8 = 4\)

\(n = 12.\)

Тогда, \(9 + 2^4 = 9 + 16 = 25 \to\) является квадратом натурального числа.

Следовательно, \(256 \cdot 25 = 6400 \to\) квадрат натурального числа.

Ответ: существует, например \(n = 12\).

Задано выражение: \( 2^8 + 2^{11} + 2^n \). Необходимо выяснить, существует ли такое натуральное число \( n \), при котором это выражение является квадратом натурального числа.

1. Первоначально можно вынести общий множитель \( 2^8 \) из всех слагаемых:

\( 2^8 + 2^{11} + 2^n = 2^8(1 + 2^3 + 2^{n-8}) \)

2. Далее упростим выражение внутри скобок:

\( 1 + 2^3 + 2^{n-8} = 1 + 8 + 2^{n-8} = 9 + 2^{n-8} \)

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

\( 2^8(9 + 2^{n-8}) \)

3. Мы хотим, чтобы это выражение было квадратом натурального числа. Для этого нам необходимо, чтобы \( 9 + 2^{n-8} \) было квадратом натурального числа, так как \( 2^8 = 256 \) является квадратом натурального числа (\( \sqrt{256} = 16 \)):

Таким образом, необходимо, чтобы:

\( 9 + 2^{n-8} = k^2 \), где \( k \) — некоторое натуральное число.

4. Перепишем это уравнение для \( 2^{n-8} \):

\( 2^{n-8} = k^2 — 9 \)

5. Это уравнение должно быть выполнено для целого натурального числа \( k \). Раскроем разность квадратов:

\( k^2 — 9 = (k — 3)(k + 3) \)

6. Таким образом, мы получаем следующее уравнение:

\( 2^{n-8} = (k — 3)(k + 3) \)

7. Поскольку правая часть уравнения — это произведение двух чисел, то для того, чтобы правая часть была степенью двойки, оба множителя \( (k — 3) \) и \( (k + 3) \) должны быть степенями двойки. Это означает, что оба множителя должны быть вида \( 2^m \) и \( 2^p \), где \( m \) и \( p \) — целые числа.

8. Рассмотрим это условие. Если \( k — 3 = 2^m \) и \( k + 3 = 2^p \), то вычитаем первое уравнение из второго:

\( (k + 3) — (k — 3) = 2^p — 2^m \)

\( 6 = 2^p — 2^m \)

9. Решим это уравнение для возможных значений \( p \) и \( m \). Поскольку разность двух степеней двойки равна 6, это возможно только в случае, когда \( 2^p = 8 \) и \( 2^m = 2 \), то есть \( p = 3 \) и \( m = 1 \).

10. Следовательно, \( k — 3 = 2^1 = 2 \) и \( k + 3 = 2^3 = 8 \), что даёт \( k = 5 \).

11. Подставим найденное значение \( k = 5 \) в уравнение для \( 2^{n-8} \):

\( 2^{n-8} = (5 — 3)(5 + 3) = 2 \cdot 8 = 16 \)

12. Таким образом, \( 2^{n-8} = 16 \), что даёт:

\( n — 8 = 4 \)

\( n = 12 \)

13. Проверим полученное значение \( n = 12 \) в исходном выражении. Подставим \( n = 12 \) в исходное выражение:

\( 2^8 + 2^{11} + 2^{12} = 256 + 2048 + 4096 = 6400 \)

14. Видим, что \( 6400 \) является квадратом числа (\( \sqrt{6400} = 80 \)), значит, выражение действительно является квадратом натурального числа.

Ответ: существует натуральное число \( n \), равное 12, при котором выражение \( 2^8 + 2^{11} + 2^n \) является квадратом натурального числа.