ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.52 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения 1000² +1000² · 1001² +1001² является квадратом натурального числа.

Пусть \(n = 1000\), тогда:

\(1000^2 + 1000^2 \cdot 1001^2 + 1001^2 = n^2 + n^2(n + 1)^2 + (n + 1)^2 = \\ = n^2 + n^2(n^2 + 2n + 1) + n^2 + 2n + 1 = n^2 + n^4 + 2n^3 + n^2 + n^2 + \\ + 2n + 1 = n^4 + n^2 + 1 + 2n^3 + 2n^2 + 2n = (n^2 + n + 1)^2.\)

Следовательно:

\((1000^2 + 1000 + 1)^2 = (1000^2 + 1001)^2 \to\) значение данного выражения является квадратом натурального числа.

Что и требовалось доказать.

Задано выражение: \( 1000^2 + 1000^2 \cdot 1001^2 + 1001^2 \). Необходимо доказать, что это выражение является квадратом натурального числа.

1. Обозначим \( n = 1000 \). Тогда выражение можно переписать как:

\( n^2 + n^2 \cdot (n+1)^2 + (n+1)^2 \).

2. Разложим это выражение по частям. Сначала выразим \( n^2 + n^2 \cdot (n+1)^2 \). Здесь \( n^2 \) является общим множителем, и его можно вынести за скобки:

\( n^2 + n^2 \cdot (n+1)^2 = n^2 \cdot (1 + (n+1)^2) \).

3. Теперь раскрываем скобки и упрощаем выражение внутри скобок:

\( 1 + (n+1)^2 = 1 + n^2 + 2n + 1 = n^2 + 2n + 2 \).

4. Подставляем это в исходное выражение:

\( n^2 \cdot (n^2 + 2n + 2) \). Теперь добавим к этому оставшуюся часть из исходного выражения, \( (n+1)^2 \):

\( n^2 \cdot (n^2 + 2n + 2) + (n+1)^2 \).

5. Раскроем скобки во втором слагаемом:

\( (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \).

6. Теперь подставим это в выражение:

\( n^2 \cdot (n^2 + 2n + 2) + n^2 + 2n + 1 \).

7. Перепишем все слагаемые, чтобы легче было их собрать вместе:

\( n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n^2 + 2n + 1 \).

8. Упрощаем это выражение:

\( n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1 \).

9. Заметим, что это выражение похоже на полный квадрат. Проверим, можно ли его записать в виде квадрата бинома. Попробуем разложить его как \( (n^2 + n + 1)^2 \):

\( (n^2 + n + 1)^2 = (n^2 + n + 1)(n^2 + n + 1) \).

10. Раскроем скобки:

\( (n^2 + n + 1)(n^2 + n + 1) = n^4 + n^3 + n^2 + n^3 + n^2 + n + n^2 + n + 1 \).

11. Упрощаем:

\( n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1 \), что как раз и совпадает с выражением, которое мы получили ранее.

12. Следовательно, исходное выражение можно записать как квадрат бинома:

\( 1000^2 + 1000^2 \cdot 1001^2 + 1001^2 = (1000^2 + 1000 + 1)^2 \).

13. Таким образом, мы доказали, что выражение \( 1000^2 + 1000^2 \cdot 1001^2 + 1001^2 \) является квадратом натурального числа.

Ответ: значение выражения является квадратом натурального числа, и оно равно \( (1000^2 + 1000 + 1)^2 \).