Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.53 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения 999 · 1001 · 1003 · 1005 + 16 является квадратом натурального числа.
Пусть \(n = 1002\), тогда:
\(999 \cdot 1001 \cdot 1003 \cdot 1005 + 16 = (n — 3)(n — 1)(n + 1)(n + 3) + 16 = \\ = ((n — 3)(n + 3))((n — 1)(n + 1)) + 16 = (n^2 — 9)(n^2 — 1) + 16 = \\ = n^4 — n^2 — 9n^2 + 9 + 16 = n^4 — 10n^2 + 25 = (n^2 — 5)^2.\)
Следовательно:
\((n^2 — 5)^2 = (1002^2 — 5)^2 \to\) значение данного выражения является квадратом натурального числа.
Что и требовалось доказать.
Задано выражение: \( 999 \cdot 1001 \cdot 1003 \cdot 1005 + 16 \). Необходимо доказать, что это выражение является квадратом натурального числа.
1. Обозначим \( n = 1002 \). Тогда исходное выражение можно записать в следующем виде:
\( (n — 3)(n — 1)(n + 1)(n + 3) + 16 \).
2. Сначала сгруппируем множители:
\( (n — 3)(n + 3) \) и \( (n — 1)(n + 1) \). Эти множители можно упростить, используя формулы разности квадратов:
\( (n — 3)(n + 3) = n^2 — 9 \)
\( (n — 1)(n + 1) = n^2 — 1 \).
3. Подставим эти выражения в исходное выражение:
\( (n^2 — 9)(n^2 — 1) + 16 \).
4. Теперь раскроем скобки в произведении \( (n^2 — 9)(n^2 — 1) \):
\( (n^2 — 9)(n^2 — 1) = n^4 — n^2 — 9n^2 + 9 \).
5. Упростим полученное выражение:
\( n^4 — n^2 — 9n^2 + 9 = n^4 — 10n^2 + 9 \).
6. Теперь добавим 16:
\( n^4 — 10n^2 + 9 + 16 = n^4 — 10n^2 + 25 \).
7. Заметим, что \( n^4 — 10n^2 + 25 \) является полным квадратом:
\( n^4 — 10n^2 + 25 = (n^2 — 5)^2 \).
8. Следовательно, исходное выражение можно записать как квадрат натурального числа:
\( 999 \cdot 1001 \cdot 1003 \cdot 1005 + 16 = (n^2 — 5)^2 \).
9. Так как \( n = 1002 \), подставим это значение:
\( (1002^2 — 5)^2 \).
10. Таким образом, мы доказали, что выражение \( 999 \cdot 1001 \cdot 1003 \cdot 1005 + 16 \) является квадратом натурального числа, так как оно представимо в виде \( (1002^2 — 5)^2 \).
Ответ: выражение \( 999 \cdot 1001 \cdot 1003 \cdot 1005 + 16 \) является квадратом натурального числа.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!