Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.54 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что уравнение \( x^4 — x + \frac{1}{2} = 0 \) не имеет корней.
\(x^4 — x + \frac{1}{2} = 0\)
\(x^4 — x^2 + \frac{1}{4} + x^2 — x — \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 0\)
\(x^4 — x^2 + \frac{1}{4} + x^2 — x + \frac{1}{4} = 0\)
\(\left(x^2 — \frac{1}{2}\right)^2 + \left(x — \frac{1}{2}\right)^2 = 0.\)
\(x^2 — \frac{1}{2} = 0\) и \(x — \frac{1}{2} = 0\)
\(x^2 — \frac{1}{2} = 0 \qquad x = \frac{1}{2};\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^2 — \frac{1}{2} = 0\)
\(\frac{1}{4} — \frac{1}{2} = 0\)
\(\frac{1 — 2}{4} = 0\)
\(-\frac{1}{4} \ne 0.\)
Значит, решений нет.
Следовательно, данное уравнение не имеет корней.
Что и требовалось доказать.
Задано уравнение: \( x^4 — x + \frac{1}{2} = 0 \). Необходимо доказать, что это уравнение не имеет корней.
1. Начнем с того, что попробуем преобразовать исходное уравнение:
\( x^4 — x + \frac{1}{2} = 0 \).
2. Попробуем привести это уравнение к более удобному виду. Для этого добавим и вычтем \( x^2 \) в левой части уравнения:
\( x^4 — x^2 + \frac{1}{4} + x^2 — x — \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 0 \).
3. Перегруппируем слагаемые:
\( (x^4 — x^2 + \frac{1}{4}) + (x^2 — x + \frac{1}{4}) = 0 \).
4. Попробуем разложить каждый из этих квадратов:
\( x^4 — x^2 + \frac{1}{4} = \left(x^2 — \frac{1}{2}\right)^2 \) и \( x^2 — x + \frac{1}{4} = \left(x — \frac{1}{2}\right)^2 \).
5. Таким образом, уравнение принимает вид:
\( \left(x^2 — \frac{1}{2}\right)^2 + \left(x — \frac{1}{2}\right)^2 = 0. \)
6. Поскольку сумма квадратов чисел всегда неотрицательна, то для того, чтобы сумма этих квадратов была равна нулю, каждый из квадратов должен быть равен нулю:
\( x^2 — \frac{1}{2} = 0 \) и \( x — \frac{1}{2} = 0 \).
7. Решим эти уравнения:
\( x^2 — \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \),
\( x — \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \).
8. Подставим \( x = \frac{1}{2} \) в первое уравнение \( x^2 — \frac{1}{2} = 0 \):
\( \left(\frac{1}{2}\right)^2 — \frac{1}{2} = \frac{1}{4} — \frac{1}{2} = \frac{1 — 2}{4} = -\frac{1}{4} \neq 0 \).
9. Мы видим, что при \( x = \frac{1}{2} \) первое уравнение не выполняется, следовательно, \( x = \frac{1}{2} \) не является решением.
10. Таким образом, у уравнения нет решений, и оно не имеет корней.
Ответ: уравнение \( x^4 — x + \frac{1}{2} = 0 \) не имеет корней.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!