ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.55 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение \(x^4 — 4x + 5 = 0\) не имеет корней.

\(x^4 — 4x + 5 = 0\)

\(x^4 — 4x^2 + 4 + 4x^2 — 4x + 1 = 0\)

\((x^2 — 2)^2 + (2x — 1)^2 = 0.\)

\(x^2 — 2 = 0\) и \(2x — 1 = 0\)

\(x^2 — 2 = 0 \qquad x = 0,5;\)

\(0,5^2 — 2 = 0\)

\(0,25 — 2 = 0\)

\(-1,75 \ne 0.\)

Значит, решений нет.

Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Что и требовалось доказать.

Задано уравнение: \( x^4 — 4x + 5 = 0 \). Необходимо доказать, что это уравнение не имеет корней.

1. Начнем с того, что попробуем преобразовать исходное уравнение:

\( x^4 — 4x + 5 = 0 \).

2. Чтобы упростить уравнение, добавим и вычтем \( 4x^2 \) в левой части:

\( x^4 — 4x^2 + 4 + 4x^2 — 4x + 1 = 0 \).

3. Теперь перегруппируем слагаемые:

\( (x^2 — 2)^2 + (2x — 1)^2 = 0 \).

4. Мы видим, что это сумма квадратов чисел. Сумма квадратов чисел может быть равна нулю только в случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Следовательно, имеем систему уравнений:

\( x^2 — 2 = 0 \) и \( 2x — 1 = 0 \).

5. Решим первое уравнение \( x^2 — 2 = 0 \):

\( x^2 = 2 \), что дает \( x = \pm \sqrt{2} \).

6. Теперь решим второе уравнение \( 2x — 1 = 0 \):

\( 2x = 1 \), что дает \( x = \frac{1}{2} \).

7. Подставим \( x = \frac{1}{2} \) в первое уравнение \( x^2 — 2 = 0 \):

\( \left( \frac{1}{2} \right)^2 — 2 = \frac{1}{4} — 2 = \frac{1 — 8}{4} = -\frac{7}{4} \neq 0 \).

8. Мы видим, что при \( x = \frac{1}{2} \) первое уравнение не выполняется, следовательно, \( x = \frac{1}{2} \) не является решением.

9. Таким образом, у уравнения нет решений, и оно не имеет корней.

Ответ: уравнение \( x^4 — 4x + 5 = 0 \) не имеет корней.