ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.56 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения n² + 3n является квадратом натурального числа.

Так как:

\(n^2 + 2n + n = n^2 + 3n = n^2 + 4n — n\), то:

\(n^2 + 2n + 1 \le n^2 + 3n < n^2 + 4n + 4\)

\((n + 1)^2 \le n^2 + 3n < (n + 2)^2.\)

Если выполняется строгое неравенство

\((n + 1)^2 < n^2 + 3n < (n + 2)^2,\)

то значение выражения \((n^2 + 3n)\) не может быть квадратом натурального числа, так как числа \((n + 1)\) и \((n + 2)\) являются последовательными, а число \((n^2 + 3n)\) находится между квадратами двух последовательных натуральных чисел.

Если \((n + 1)^2 = n^2 + 3n\), то:

\((n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1 + n — 1\)

\((n + 1)^2 = (n + 1)^2 + n — 1 \quad \Longrightarrow\)

\(n — 1 = 0\)

\(n = 1.\)

Значит, при \(n = 1\) значение выражения является квадратом натурального числа.

Ответ: при \(n = 1\).

Задано выражение: \( n^2 + 3n \). Необходимо найти все натуральные значения \( n \), при которых это выражение является квадратом натурального числа.

1. Обозначим, что \( n^2 + 3n = k^2 \), где \( k \) — некоторое натуральное число. Тогда мы имеем следующее уравнение:

\( n^2 + 3n — k^2 = 0 \).

2. Это квадратное уравнение относительно \( n \). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\( n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 3 \), и \( c = -k^2 \). Подставим эти значения:

\( n = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-k^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4k^2}}{2}. \)

3. Для того чтобы \( n \) было натуральным числом, выражение под корнем, то есть \( 9 + 4k^2 \), должно быть полным квадратом. Пусть \( 9 + 4k^2 = m^2 \), где \( m \) — некоторое натуральное число. Тогда получаем диофантово уравнение:

\( m^2 — 4k^2 = 9 \).

4. Это уравнение является разностью двух квадратов, которое можно разложить:

\( (m — 2k)(m + 2k) = 9 \).

5. Рассмотрим все возможные разложения числа 9 на два множителя:

• \( m — 2k = 1 \) и \( m + 2k = 9 \),
• \( m — 2k = -1 \) и \( m + 2k = -9 \),
• \( m — 2k = 3 \) и \( m + 2k = 3 \),
• \( m — 2k = -3 \) и \( m + 2k = -3 \).

6. Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. \( m — 2k = 1 \) и \( m + 2k = 9 \). Сложим эти два уравнения:

\( 2m = 10 \Rightarrow m = 5 \).

Подставим \( m = 5 \) в одно из уравнений, например \( m — 2k = 1 \):

\( 5 — 2k = 1 \Rightarrow 2k = 4 \Rightarrow k = 2 \).

2. \( m — 2k = -1 \) и \( m + 2k = -9 \). Сложим эти два уравнения:

\( 2m = -10 \Rightarrow m = -5 \), но \( m \) должно быть натуральным числом, поэтому этот случай исключается.

3. \( m — 2k = 3 \) и \( m + 2k = 3 \). Сложим эти два уравнения:

\( 2m = 6 \Rightarrow m = 3 \).

Подставим \( m = 3 \) в одно из уравнений, например \( m — 2k = 3 \):

\( 3 — 2k = 3 \Rightarrow 2k = 0 \Rightarrow k = 0 \), но \( k \) должно быть натуральным числом, поэтому этот случай исключается.

4. \( m — 2k = -3 \) и \( m + 2k = -3 \). Сложим эти два уравнения:

\( 2m = -6 \Rightarrow m = -3 \), но \( m \) должно быть натуральным числом, поэтому этот случай также исключается.

7. Таким образом, из всех случаев единственное подходящее решение — это \( m = 5 \) и \( k = 2 \).

8. Подставим найденное значение \( k = 2 \) в уравнение \( n^2 + 3n = k^2 \):

\( n^2 + 3n = 4 \).

9. Решим это уравнение относительно \( n \):

\( n^2 + 3n — 4 = 0 \).

10. Это квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней:

\( n = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \).

11. Находим два корня:

\( n = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \) и \( n = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \).

12. Так как \( n \) должно быть натуральным числом, оставляем только \( n = 1 \).

Ответ: единственное натуральное значение \( n \), при котором \( n^2 + 3n \) является квадратом натурального числа, это \( n = 1 \).