ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.62 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

(Старинная болгарская задача.) Семь рыбаков ловили на озере рыбу. Первый ловил рыбу ежедневно, второй — через день, третий — через 2 дня и т.д., седьмой — через 6 дней. Сегодня все рыбаки пришли на озеро. Через какое наименьшее количество дней все семь рыбаков соберутся вместе на озере?

Найдем НОК чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 → это и будет наименьшим количеством дней, когда рыбаки снова вместе соберутся на озере:

НОК \((1; 2; 3; 4; 5; 6; 7) = 1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7 = 420.\)

\(4 = 2 \cdot 2; \quad 6 = 2 \cdot 3.\)

Значит, через 420 дней все семь рыбаков соберутся вместе на озере.

Ответ: через 420 дней.

Задана ситуация: семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый ловил рыбу ежедневно, второй — через день, третий — через 2 дня и так далее, седьмой — через 6 дней. Необходимо найти, через какое наименьшее количество дней все семь рыбаков соберутся вместе на озере.

1. Мы должны найти наименьшее количество дней, которое будет общим для всех периодичностей рыбаков. Периодичность каждого рыбака выражается как интервал дней между его приходами на озеро. Это значит, что мы ищем наименьшее общее кратное (НОК) чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, где:

• Первый рыбак приходит каждый день — это 1 день.
• Второй рыбак приходит через день — это 2 дня.
• Третий рыбак приходит через 2 дня — это 3 дня.
• Четвертый рыбак приходит через 3 дня — это 4 дня.
• Пятый рыбак приходит через 4 дня — это 5 дней.
• Шестой рыбак приходит через 5 дней — это 6 дней.
• Седьмой рыбак приходит через 6 дней — это 7 дней.

2. Для нахождения НОК чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 используем правило нахождения НОК через разложение на простые множители.

3. Разложим числа на простые множители:

• \( 1 = 1 \),
• \( 2 = 2 \),
• \( 3 = 3 \),
• \( 4 = 2^2 \),
• \( 5 = 5 \),
• \( 6 = 2 \cdot 3 \),
• \( 7 = 7 \).

4. Теперь находим НОК. Для этого берем все простые множители с максимальной степенью, встречающиеся в разложениях этих чисел:

• \( 2^2 \) (максимальная степень для 2),
• \( 3 \) (максимальная степень для 3),
• \( 5 \) (максимальная степень для 5),
• \( 7 \) (максимальная степень для 7).

5. Таким образом, НОК чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 равен:

\( \text{НОК}(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420 \).

6. Следовательно, наименьшее количество дней, через которое все семь рыбаков снова соберутся вместе на озере, равно 420.

Ответ: через 420 дней.