ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения выражение:

1) \( (b — 5)^3 + 125  \)

2) \( (4 — 3x)^3 — 8x^3  \)

3) \( (a — b)^3 + (a + b)^3  \)

4) \( (x + 3)^3 — (c — 3)^3  \)

1) \( (b — 5)^3 + 125 = (b — 5)^3 + 5^3 = ((b — 5) + 5) \cdot \)
\( \cdot ((b — 5)^2 — 5(b — 5) + 25) = b(b^2 — 10b + 25 — 5b + 25 + 25) = \)
\( = b(b^2 — 15b + 75) \);

2) \( (4 — 3x)^3 — 8x^3 = (4 — 3x)^3 — (2x)^3 = ((4 — 3x) — 2x) \cdot \)
\( \cdot ((4 — 3x)^2 + 2x(4 — 3x) + 4x^2) = (4 — 5x)(7x^2 — 16x + 16) \);

3) \( (a — b)^3 + (a + b)^3 = ((a — b) + (a + b)) \cdot \)
\( \cdot ((a — b)^2 — (a — b)(a + b) + (a + b)^2) = (a — b + a + b) \cdot \)
\( \cdot (a^2 — 2ab + b^2 — a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2) = 2a(a^2 + 3b^2) \);

4) \( (x + 3)^3 — (c — 3)^3 = ((x + 3) — (c — 3)) \cdot \)
\( \cdot ((x + 3)^2 + (x + 3)(c — 3) + (c — 3)^2) = (x + 3 — c + 3) \cdot \)
\( \cdot (x^2 + 6x + 9 + xc — 3x + 3c — 9 + c^2 — 6c + 9) = \)
\( = (x — c + 6)(x^2 + c^2 + 3x + xc — 3c + 9) \).

1) Разложим на множители выражение \( (b — 5)^3 + 125 \);

Это сумма кубов, поэтому применяем формулу суммы кубов:

Формула суммы кубов: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2) \).

Здесь \( x = (b — 5) \) и \( y = 5 \). Подставляем в формулу:

\( (b — 5)^3 + 125 = ((b — 5) + 5) \cdot ((b — 5)^2 — 5(b — 5) + 25) \).

Теперь вычислим каждую часть:

1) \( (b — 5) + 5 = b \),

2) \( (b — 5)^2 = b^2 — 10b + 25 \),

3) \( -5(b — 5) = -5b + 25 \),

4) \( 25 \) — это константа.

Теперь подставим в выражение:

\( b \cdot (b^2 — 10b + 25 — 5b + 25 + 25) = b(b^2 — 15b + 75) \).

Таким образом, разложение на множители будет: \( b(b^2 — 15b + 75) \).

2) Разложим на множители выражение \( (4 — 3x)^3 — 8x^3 \);

Это разность кубов, поэтому применяем формулу разности кубов:

Формула разности кубов: \( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \).

Здесь \( x = (4 — 3x) \) и \( y = 2x \). Подставляем в формулу:

\( (4 — 3x)^3 — 8x^3 = ((4 — 3x) — 2x) \cdot ((4 — 3x)^2 + 2x(4 — 3x) + (2x)^2) \).

Теперь вычислим каждую часть:

1) \( (4 — 3x) — 2x = 4 — 5x \),

2) \( (4 — 3x)^2 = 16 — 24x + 9x^2 \),

3) \( 2x(4 — 3x) = 8x — 6x^2 \),

4) \( (2x)^2 = 4x^2 \).

Теперь подставим в выражение:

\( (4 — 5x) \cdot (16 — 24x + 9x^2 + 8x — 6x^2 + 4x^2) =\)

\(= (4 — 5x)(7x^2 — 16x + 16) \).

Таким образом, разложение на множители будет: \( (4 — 5x)(7x^2 — 16x + 16) \).

3) Разложим на множители выражение \( (a — b)^3 + (a + b)^3 \);

Это сумма кубов, применяем формулу суммы кубов:

Формула суммы кубов: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2) \).

Здесь \( x = (a — b) \) и \( y = (a + b) \). Подставляем в формулу:

\( (a — b)^3 + (a + b)^3 = ((a — b) + (a + b)) \cdot ((a — b)^2 — (a — b)(a + b) +\)

\(+ (a + b)^2) \).

Теперь вычислим каждую часть:

1) \( (a — b) + (a + b) = 2a \),

2) \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \),

3) \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \),

4) \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \).

Теперь подставим в выражение:

\( 2a \cdot (a^2 — 2ab + b^2 — a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2) = 2a(a^2 + 3b^2) \).

Таким образом, разложение на множители будет: \( 2a(a^2 + 3b^2) \).

4) Разложим на множители выражение \( (x + 3)^3 — (c — 3)^3 \);

Это разность кубов, применяем формулу разности кубов:

Формула разности кубов: \( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \).

Здесь \( x = (x + 3) \) и \( y = (c — 3) \). Подставляем в формулу:

\( (x + 3)^3 — (c — 3)^3 = ((x + 3) — (c — 3)) \cdot ((x + 3)^2 + (x + 3)(c — 3) +\)

\(+ (c — 3)^2) \).

Теперь вычислим каждую часть:

1) \( (x + 3) — (c — 3) = x — c + 6 \),

2) \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \),

3) \( (x + 3)(c — 3) = xc — 3x + 3c — 9 \),

4) \( (c — 3)^2 = c^2 — 6c + 9 \).

Теперь подставим в выражение:

\( (x — c + 6) \cdot (x^2 + 6x + 9 + xc — 3x + 3c — 9 + c^2 — 6c + 9) =\)

\(= (x — c + 6)(x^2 + c^2 + 3x + xc — 3c + 9) \).

Таким образом, разложение на множители будет: \( (x — c + 6)(x^2 + c^2 + 3x + xc — 3c + 9) \).