ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( (x + 1)(x^2 — x + 1) + (2 — x)(4 + 2x + x^2)  \)

2) \( (x — 4)(x^2 + 4x + 16) — x(x — 5)(x + 5)  \)

3) \( a(a — 3)^2 — (a + 3)(a^2 — 3a + 9)  \)

4) \( (a — 1)(a + 1)(a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1)  \)

1) \( (x + 1)(x^2 — x + 1) + (2 — x)(4 + 2x + x^2) = x^3 + 1 + (8 — x^3) = \)
\( = x^3 + 1 + 8 — x^3 = 9 \);

2) \( (x — 4)(x^2 + 4x + 16) — x(x — 5)(x + 5) = x^3 — 64 — x(x^2 — 25) = \)
\( = x^3 — 64 — x^3 + 25x = 25x — 64 \);

3) \( a(a — 3)^2 — (a + 3)(a^2 — 3a + 9) = a(a^2 — 6a + 9) — (a^3 + 27) = \)
\( = a^3 — 6a^2 + 9a — a^3 — 27 = -6a^2 + 9a — 27 \);

4) \( (a — 1)(a + 1)(a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = \)
\( = \Big((a — 1)(a^2 + a + 1)\Big)\Big((a + 1)(a^2 — a + 1)\Big)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = \)
\( = (a^3 — 1)(a^3 + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = (a^6 — 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = \)
\( = (a^{12} — 1)(a^{12} + 1) = a^{24} — 1 \).

1) Упростим выражение \( (x + 1)(x^2 — x + 1) + (2 — x)(4 + 2x + x^2) \);

Начнем с распределения каждого из множителей по скобкам:

1) Для первого произведения \( (x + 1)(x^2 — x + 1) \), применим распределение:

\( (x + 1)(x^2 — x + 1) = x(x^2 — x + 1) + 1(x^2 — x + 1) \).

Теперь вычислим каждый из этих слагаемых:

\( x(x^2 — x + 1) = x^3 — x^2 + x \),

\( 1(x^2 — x + 1) = x^2 — x + 1 \).

Теперь сложим эти два выражения:

\( x^3 — x^2 + x + x^2 — x + 1 = x^3 + 1 \).

2) Для второго произведения \( (2 — x)(4 + 2x + x^2) \), применим распределение:

\( (2 — x)(4 + 2x + x^2) = 2(4 + 2x + x^2) — x(4 + 2x + x^2) \).

Теперь вычислим каждый из этих слагаемых:

Первое слагаемое: \( 2(4 + 2x + x^2) = 8 + 4x + 2x^2 \),

Второе слагаемое: \( -x(4 + 2x + x^2) = -4x — 2x^2 — x^3 \).

Теперь сложим эти два выражения:

\( 8 + 4x + 2x^2 — 4x — 2x^2 — x^3 = 8 — x^3 \).

Теперь сложим оба полученных выражения:

\( (x^3 + 1) + (8 — x^3) \).

Распишем это:

\( x^3  + 1 + 8 — x^3 = 9 \).

Итак, упрощенное выражение равно: \( 9 \).

2) Упростим выражение \( (x — 4)(x^2 + 4x + 16) — x(x — 5)(x + 5) \);

Начнем с распределения каждого из множителей по скобкам:

1) Для первого произведения \( (x — 4)(x^2 + 4x + 16) \), применим распределение:

\( (x — 4)(x^2 + 4x + 16) = x(x^2 + 4x + 16) — 4(x^2 + 4x + 16) \).

Теперь вычислим каждый из этих слагаемых:

Первое слагаемое: \( x(x^2 + 4x + 16) = x^3 + 4x^2 + 16x \),

Второе слагаемое: \( -4(x^2 + 4x + 16) = -4x^2 — 16x — 64 \).

Теперь сложим эти два выражения:

\( x^3 + 4x^2 + 16x — 4x^2 — 16x — 64 = x^3 — 64 \).

2) Для второго произведения \( x(x — 5)(x + 5) \), применим формулу разности квадратов \( (x — 5)(x + 5) = x^2 — 25 \):

\( x(x^2 — 25) = x^3 — 25x \).

Теперь подставим полученные выражения в исходное выражение:

\( x^3 — 64 — (x^3 — 25x) = x^3 — 64 — x^3 + 25x \).

Упрощаем:

\( 25x — 64 \).

Таким образом, упрощенное выражение равно: \( 25x — 64 \).

3) Упростим выражение \( a(a — 3)^2 — (a + 3)(a^2 — 3a + 9) \);

1) Для первого произведения \( a(a — 3)^2 \), применим распределение:

\( a(a — 3)^2 = a(a^2 — 6a + 9) = a^3 — 6a^2 + 9a \).

2) Для второго произведения \( (a + 3)(a^2 — 3a + 9) \), применим распределение:

\( (a + 3)(a^2 — 3a + 9) = a(a^2 — 3a + 9) + 3(a^2 — 3a + 9) \).

Теперь вычислим каждый из этих слагаемых:

Первое слагаемое: \( a(a^2 — 3a + 9) = a^3 — 3a^2 + 9a \),

Второе слагаемое: \( 3(a^2 — 3a + 9) = 3a^2 — 9a + 27 \).

Теперь сложим эти два выражения:

\( a^3 — 3a^2 + 9a + 3a^2 — 9a + 27 = a^3 + 27 \).

Теперь подставим эти выражения в исходное выражение:

\( a^3 — 6a^2 + 9a — (a^3 + 27) = a^3 — 6a^2 + 9a — a^3 — 27 \).

Упрощаем:

\( -6a^2 + 9a — 27 \).

Таким образом, упрощенное выражение равно: \( -6a^2 + 9a — 27 \).

4) Упростим выражение \( (a — 1)(a + 1)(a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) \);

1) Для первого произведения \( (a — 1)(a + 1) \), это разность квадратов:

\( (a — 1)(a + 1) = a^2 — 1 \).

2) Для второго произведения \( (a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1) \), применим формулу для произведения двух квадратичных выражений:

\( (a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1) = a^4 + a^2 + 1 \).

Теперь подставим эти выражения в исходное выражение:

\( (a^2 — 1)(a^4 + a^2 + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) \).

3) Для произведения \( (a^2 — 1)(a^4 + a^2 + 1) \), применим разность квадратов:

\( (a^2 — 1)(a^4 + a^2 + 1) = (a^2 — 1)(a^2 + 1)(a^2 + a + 1) = a^6 — 1 \).

Теперь подставим результат в исходное выражение:

\( (a^6 — 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) = a^{12} — 1 \).

Таким образом, упрощенное выражение равно: \( a^{24} — 1 \).