ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Подставьте вместо звездочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество:

1) \( (7k — p)(\ast + \ast + \ast) = 343k^3 — p^3 \)

2) \( (\ast + \ast)(25a^4 — \ast + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3 \)

3) \( (mn + \ast)(\ast — \ast + k^6) = m^3n^3 + k^9 \)

1) \( (7k — p)(\ast + \ast + \ast) = 343k^3 — p^3 \);
\( (7k — p)(49k^2 + 7pk + p^2) = 343k^3 — p^3 \).

2) \( (\ast + \ast)(25a^4 — \ast + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3 \);
\( (5a^2 + 6b)(25a^4 — 30a^2b + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3 \).

3) \( (mn + \ast)(\ast — \ast + k^6) = m^3n^3 + k^9 \);
\( (mn + k^3)(m^2n^2 — mnk^3 + k^6) = m^3n^3 + k^9 \).

1) \( (7k — p)(\ast + \ast + \ast) = 343k^3 — p^3 \);

Данное выражение напоминает формулу разности кубов \( (a — b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 — b^3 \), где \( a = 7k \) и \( b = p \). Сравнив, мы можем подставить одночлены:

\( (7k — p)(49k^2 + 7pk + p^2) = 343k^3 — p^3 \).

Таким образом, звездочки заменяются на \( 49k^2 + 7pk + p^2 \), что даёт верное равенство, так как \( (7k)^3 — p^3 = 343k^3 — p^3 \).

2) \( (\ast + \ast)(25a^4 — \ast + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3 \);

Аналогично, здесь мы видим выражение, которое можно привести к виду разности кубов. Для этого необходимо подобрать одночлены, которые бы соответствовали разложению кубов:

Подставим: \( (5a^2 + 6b)(25a^4 — 30a^2b + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3 \).

Мы видим, что разложение \( (5a^2)^3 = 125a^6 \) и \( (6b)^3 = 216b^3 \), а также, что между ними присутствует выражение, которое даёт соответствующие по степеням и переменным слагаемые. Подставленные одночлены верны, так как они приводят к нужному результату.

3) \( (mn + \ast)(\ast — \ast + k^6) = m^3n^3 + k^9 \);

В этом случае, выражение напоминает разложение на кубы, так как в правой части мы имеем \( m^3n^3 + k^9 \). Чтобы удовлетворить условию, подставим:

Подставим: \( (mn + k^3)(m^2n^2 — mnk^3 + k^6) = m^3n^3 + k^9 \).

Здесь \( (mn)^3 = m^3n^3 \) и \( (k^3)^3 = k^9 \), а также, что в середине есть выражение, которое соответствует разложению на множители. Таким образом, подставленные одночлены правильны, и равенство выполняется.