Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения:
1) \( 456^3 — 156^3 \) делится нацело на 300
2) \( 254^3 + 238^3 \) делится нацело на 123.
3) \( 17^6 — 1 \) делится нацело на 36
1) \( 456^3 — 156^3 = (456 — 156)(456^2 + 456 \cdot 156 + 156^2) = \)
\( = 300 \cdot (456^2 + 456 \cdot 156 + 156^2) \to \) делится нацело на 300;
2) \( 254^3 + 238^3 = (254 + 238)(254^2 — 254 \cdot 238 + 238^2) = \)
\( = 492 \cdot (254^2 — 254 \cdot 238 + 238^2) = \)
\( = 123 \cdot 4 \cdot (254^2 — 254 \cdot 238 + 238^2) \to \) делится нацело на 123;
3) \( 17^6 — 1 = (17^2)^3 — 1 = (17^2 — 1)(17^4 + 17^2 + 1) = \)
\( = (289 — 1)(17^4 + 289 + 1) = 288 \cdot (17^4 + 290) = \)
\( = 36 \cdot 8 \cdot (17^4 + 290) \to \) делится нацело на 36.
1) Доказать, что \( 456^3 — 156^3 \) делится нацело на 300.
Используем формулу для разности кубов: \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \).
В данном случае \( a = 456 \) и \( b = 156 \). Подставим в формулу:
\( 456^3 — 156^3 = (456 — 156)(456^2 + 456 \cdot 156 + 156^2) \).
Вычислим первую часть: \( 456 — 156 = 300 \).
Теперь вычислим вторую часть: \( 456^2 + 456 \cdot 156 + 156^2 \). Начнем с каждого члена поочередно:
\( 456^2 = 207936 \),
\( 456 \cdot 156 = 71136 \),
\( 156^2 = 24336 \).
Теперь сложим все эти выражения:
\( 207936 + 71136 + 24336 = 302408 \).
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
\( 456^3 — 156^3 = 300 \cdot 302408 \).
Очевидно, что выражение делится на 300, так как одно из множителей уже равно 300.
Ответ: \( 456^3 — 156^3 \) делится нацело на 300.
2) Доказать, что \( 254^3 + 238^3 \) делится нацело на 123.
Используем формулу для суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \).
В данном случае \( a = 254 \) и \( b = 238 \). Подставим в формулу:
\( 254^3 + 238^3 = (254 + 238)(254^2 — 254 \cdot 238 + 238^2) \).
Вычислим первую часть: \( 254 + 238 = 492 \).
Теперь вычислим вторую часть: \( 254^2 — 254 \cdot 238 + 238^2 \). Начнем с каждого члена:
\( 254^2 = 64516 \),
\( 254 \cdot 238 = 60412 \),
\( 238^2 = 56644 \).
Теперь подставим в выражение:
\( 254^2 — 254 \cdot 238 + 238^2 = 64516 — 60412 + 56644 = 60748 \).
Теперь подставим все в исходное выражение:
\( 254^3 + 238^3 = 492 \cdot 60748 \).
Проверим, делится ли это число на 123. Разделим \( 492 \) на 123:
\( \frac{492}{123} = 4 \).
Таким образом, \( 492 \) делится на 123. Следовательно, \( 254^3 + 238^3 \) делится нацело на 123.
Ответ: \( 254^3 + 238^3 \) делится нацело на 123.
3) Доказать, что \( 17^6 — 1 \) делится нацело на 36.
Используем формулу для разности квадратов: \( a^6 — 1 = (a^2)^3 — 1 = (a^2 — 1)((a^2)^2 + a^2 + 1) \).
В данном случае \( a = 17 \), подставим в формулу:
\( 17^6 — 1 = (17^2 — 1)(17^4 + 17^2 + 1) \).
Вычислим первое выражение: \( 17^2 — 1 = 289 — 1 = 288 \).
Теперь вычислим второе выражение: \( 17^4 + 17^2 + 1 \). Начнем с каждого члена:
\( 17^4 = 83521 \),
\( 17^2 = 289 \),
\( 1 = 1 \).
Теперь подставим все в выражение:
\( 17^4 + 17^2 + 1 = 83521 + 289 + 1 = 83811 \).
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
\( 17^6 — 1 = 288 \cdot 83811 \).
Проверим, делится ли это выражение на 36. Разделим \( 288 \) на 36:
\( \frac{288}{36} = 8 \).
Таким образом, \( 288 \) делится на 36. Следовательно, \( 17^6 — 1 \) делится нацело на 36.
Ответ: \( 17^6 — 1 \) делится нацело на 36.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!