Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения:
1) \( 341^3 + 109^3 \) делится нацело на 90
2) \( 2^{15} + 3^3 \) делится нацело на 35
1) \( 341^3 + 109^3 = (341 + 109)(341^2 — 341 \cdot 109 + 109^2) = 450 \cdot \)
\( \cdot (341^2 — 341 \cdot 109 + 109^2) = 90 \cdot 5 \cdot (341^2 — 341 \cdot 109 + 109^2) \to \) делится нацело на 90;
2) \( 2^{15} + 3^3 = (2^5)^3 + 3^3 = (2^5 + 3)(2^{10} — 2^5 \cdot 3 + 9) = \)
\( = (32 + 3)(2^{10} — 32 \cdot 3 + 9) = 35(2^{10} — 87) \to \) делится нацело на 35.
1) Доказать, что \( 341^3 + 109^3 \) делится нацело на 90.
Используем формулу для суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \).
В данном случае \( a = 341 \) и \( b = 109 \). Подставим в формулу:
\( 341^3 + 109^3 = (341 + 109)(341^2 — 341 \cdot 109 + 109^2) \).
Вычислим первую часть: \( 341 + 109 = 450 \).
Теперь вычислим вторую часть: \( 341^2 — 341 \cdot 109 + 109^2 \). Начнем с каждого члена:
\( 341^2 = 116281 \),
\( 341 \cdot 109 = 37169 \),
\( 109^2 = 11881 \).
Теперь сложим эти выражения:
\( 116281 — 37169 + 11881 = 92493 \).
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
\( 341^3 + 109^3 = 450 \cdot 92493 \).
Теперь проверим, делится ли это выражение на 90. Мы знаем, что \( 450 = 90 \cdot 5 \), следовательно, выражение можно переписать как:
\( 341^3 + 109^3 = 90 \cdot 5 \cdot 92493 \).
Очевидно, что выражение делится на 90, так как один из множителей уже содержит 90.
Ответ: \( 341^3 + 109^3 \) делится нацело на 90.
2) Доказать, что \( 2^{15} + 3^3 \) делится нацело на 35.
Используем разложение для суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \).
В данном случае \( a = 2^5 \) и \( b = 3 \). Подставим в формулу:
\( (2^5)^3 + 3^3 = (2^5 + 3)((2^5)^2 — 2^5 \cdot 3 + 3^2) \).
Вычислим первую часть: \( 2^5 + 3 = 32 + 3 = 35 \).
Теперь вычислим вторую часть: \( (2^5)^2 — 2^5 \cdot 3 + 3^2 \). Начнем с каждого члена:
\( (2^5)^2 = 1024 \),
\( 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96 \),
\( 3^2 = 9 \).
Теперь подставим эти значения:
\( (2^5)^2 — 2^5 \cdot 3 + 3^2 = 1024 — 96 + 9 = 937 \).
Теперь подставим все в исходное выражение:
\( 2^{15} + 3^3 = 35 \cdot 937 \).
Очевидно, что выражение делится на 35, так как один из множителей уже равен 35.
Ответ: \( 2^{15} + 3^3 \) делится нацело на 35.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!