ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Укажите наименьшее натуральное значение n такое, чтобы выражение \( x^{2n} — y^{3n} \) можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите полученный многочлен на множители по этим формулам.

Число \( n \) должно делиться нацело как на 2, так и на 3, и принимать наименьшее значение:
\( \text{НОК} (2; 3) = 6 \Longrightarrow n = 6 \) — наименьшее натуральное значение, тогда:
\( x^{2n} — y^{3n} = x^{2 \cdot 6} — y^{3 \cdot 6} = x^{12} — y^{18} \).

Следовательно:
\( x^{12} — y^{18} = (x^6 — y^9)(x^6 + y^9) \);
\( x^{12} — y^{18} = (x^4)^3 — (y^6)^3 = (x^4 — y^6)(x^8 + x^4y^6 + y^{12}) \).

Ответ: \( n = 6 \).

Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее натуральное значение \( n \), при котором выражение \( x^{2n} — y^{3n} \) можно разложить как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов.

Для начала рассмотрим два условия для разложения:

• Разность квадратов: Формула разности квадратов имеет вид:

  \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \).

• Разность кубов: Формула разности кубов имеет вид:

  \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \).

Наше выражение имеет вид \( x^{2n} — y^{3n} \). Рассмотрим оба разложения поочередно.

1. Разложение по формуле разности квадратов:
Чтобы применить формулу разности квадратов, выражение должно быть представлено как разность квадратов, то есть как \( a^2 — b^2 \). Для этого нам нужно, чтобы степени показателей у \( x \) и \( y \) были четными, так как квадрат любого числа имеет четную степень. Следовательно, \( 2n \) должно быть четным числом. Это условие выполняется при любом \( n \), так как \( 2n \) всегда будет четным для любого натурального \( n \).

2. Разложение по формуле разности кубов:
Чтобы применить формулу разности кубов, выражение должно быть представлено как разность кубов, то есть как \( a^3 — b^3 \). Для этого нам нужно, чтобы степени показателей у \( x \) и \( y \) были кратны 3, так как куб любого числа имеет степень, кратную 3. Это условие выполняется, если \( n \) будет кратно 3.

Теперь, чтобы и то, и другое разложение применялось, нам нужно, чтобы \( 2n \) было четным (что всегда выполняется), и \( 3n \) было кратно 3. Таким образом, наименьшее значение \( n \), которое выполняет оба условия, это \( n = 3 \).

Теперь давайте разложим выражение \( x^{2n} — y^{3n} \) на множители для \( n = 3 \):

Подставим \( n = 3 \) в выражение \( x^{2n} — y^{3n} \):

\( x^{2 \cdot 3} — y^{3 \cdot 3} = x^6 — y^9 \).

Используем формулу разности квадратов для разложения \( x^6 — y^9 \):
\( x^6 — y^9 = (x^3 — y^{\frac{9}{2}})(x^3 + y^{\frac{9}{2}}) \).

Теперь воспользуемся разностью кубов для разложения \( x^6 — y^9 \):
\( x^6 — y^9 = (x^4)^3 — (y^6)^3 = (x^4 — y^6)(x^8 + x^4y^6 + y^{12}) \).

Ответ: Наименьшее значение \( n = 6 \).