ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Придумайте многочлен, который можно разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите придуманный многочлен на множители по этим формулам.

Например, \( x^{24} — 64y^{36} \). Тогда:

\( x^{24} — 64y^{36} = (x^8)^3 — (4y^{12})^3 = \)

\( = (x^8 — 4y^{12})(x^{16} + 4x^8y^{12} + 16y^{24}) \);

\( x^{24} — 64y^{36} = (x^{12} — 8y^{18})(x^{12} + 8y^{18}) \).

Нам нужно придумать многочлен, который можно разложить как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Рассмотрим следующий многочлен:

\( x^6 — y^6 \).

Для начала, разложим это выражение по формуле разности квадратов:

Формула разности квадратов выглядит так: \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \).

В данном случае, \( x^6 — y^6 \) можно представить как \( (x^3)^2 — (y^3)^2 \), то есть как разность квадратов.

Таким образом, разложим \( x^6 — y^6 \) по формуле разности квадратов:

\( x^6 — y^6 = (x^3 — y^3)(x^3 + y^3) \).

Теперь разложим это выражение по формуле разности кубов:

Формула разности кубов выглядит так: \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \).

В данном случае, \( x^3 — y^3 \) можно разложить по формуле разности кубов. Подставляем \( x^3 — y^3 \) в разложение:

\( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \).

Таким образом, выражение \( x^6 — y^6 \) разлагается на множители по формуле разности квадратов и разности кубов следующим образом:

По формуле разности квадратов:
\( x^6 — y^6 = (x^3 — y^3)(x^3 + y^3) \).

По формуле разности кубов:
\( x^6 — y^6 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)(x^3 + y^3) \).

Ответ: Многочлен \( x^6 — y^6 \) можно разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов.