ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Можно ли утверждать, что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число, то на это число делится нацело:

1) разность их квадратов;

2) сумма их квадратов;

3) сумма их кубов?

Пусть \( n \) и \( m \) два натуральных числа, где \( n + m \) делится нацело на некоторое натуральное число.

1. \( n^2 — m^2 = (n — m)(n + m) \to \) делится нацело на некоторое натуральное число, так как \( (n + m) \) делится на это число.
2. \( n^2 + m^2 = n^2 + 2mn + m^2 — 2mn = (n + m)^2 — 2mn \to \) не делится нацело на некоторое натуральное число, если \( 2mn \) не кратно этому числу.
3. \( n^3 + m^3 = (n + m)(n^2 — mn + m^2) \to \) делится нацело на некоторое натуральное число, так как \( (n + m) \) делится на это число.

Ответ: 1) можно; 2) нельзя; 3) можно.

Задача заключается в том, чтобы выяснить, можно ли утверждать, что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число, то на это число делится нацело:

1. разность их квадратов;
2. сумма их квадратов;
3. сумма их кубов.

Пусть \( n \) и \( m \) — два натуральных числа, и сумма этих чисел делится нацело на некоторое натуральное число \( d \), то есть:

\( n + m \) делится на \( d \), или \( n + m = d \cdot k \), где \( k \) — некоторое натуральное число.

Теперь рассмотрим каждый из случаев:

1) Разность их квадратов:

Нам нужно проверить, делится ли нацело на \( d \) разность квадратов \( n^2 — m^2 \). Мы можем разложить это выражение по формуле разности квадратов:

\( n^2 — m^2 = (n — m)(n + m) \).

Так как \( n + m \) делится на \( d \), то мы знаем, что \( (n + m) \) делится на \( d \). Следовательно, выражение \( n^2 — m^2 \) также делится на \( d \), так как один из множителей \( (n + m) \) уже делится на \( d \), независимо от значения \( n — m \).

Таким образом, утверждение, что разность квадратов делится на \( d \), верно, если \( n + m \) делится на \( d \).

Ответ: 1) можно.

2) Сумма их квадратов:

Теперь рассмотрим сумму квадратов \( n^2 + m^2 \). Мы можем выразить это следующим образом:

\( n^2 + m^2 = (n + m)^2 — 2nm \).

Так как \( n + m \) делится на \( d \), то \( (n + m)^2 \) также делится на \( d \). Однако для того, чтобы \( n^2 + m^2 \) делилось на \( d \), необходимо, чтобы также \( 2nm \) делилось на \( d \). Это условие не всегда выполняется, так как произведение \( 2nm \) не обязательно делится на \( d \), даже если \( n + m \) делится на \( d \).

Таким образом, сумма квадратов не всегда делится на \( d \), если только \( n + m \) делится на \( d \).

Ответ: 2) нельзя.

3) Сумма их кубов:

Теперь рассмотрим сумму кубов \( n^3 + m^3 \). Мы можем разложить сумму кубов по формуле:

\( n^3 + m^3 = (n + m)(n^2 — nm + m^2) \).

Так как \( n + m \) делится на \( d \), то выражение \( (n + m) \) делится на \( d \). Остальная часть выражения \( (n^2 — nm + m^2) \) не зависит от \( d \), но так как \( n + m \) делится на \( d \), вся сумма кубов будет делиться на \( d \).

Таким образом, сумма кубов всегда делится на \( d \), если \( n + m \) делится на \( d \).

Ответ: 3) можно.