Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.
Пусть даны два последовательных нечетных натуральных числа: \( (2n — 1) \) и \( (2n + 1) \).
Тогда:
\( (2n — 1)^3 + (2n + 1)^3 = ((2n — 1) + (2n + 1)) \cdot \)
\( \cdot ((2n — 1)^2 — (2n — 1)(2n + 1) + (2n + 1)^2) = (2n — 1 + 2n + 1) \cdot \)
\( \cdot (4n^2 — 4n + 1 — 4n^2 + 1 + 4n^2 + 4n + 1) = 4n \cdot (4n^2 + 3) \to \) делится нацело на 4.
Что и требовалось доказать.
Нам нужно доказать, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4. Пусть два последовательных нечётных числа имеют вид:
\( (2n — 1) \) и \( (2n + 1) \), где \( n \) — натуральное число.
Необходимо доказать, что выражение \( (2n — 1)^3 + (2n + 1)^3 \) делится нацело на 4.
Для начала раскроем кубы этих чисел:
\( (2n — 1)^3 + (2n + 1)^3 \) можно разложить по формуле суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \). Подставим \( a = (2n — 1) \) и \( b = (2n + 1) \):
\( (2n — 1)^3 + (2n + 1)^3 = \\ = ((2n — 1) + (2n + 1)) \cdot \left( (2n — 1)^2 — (2n — 1)(2n + 1) + (2n + 1)^2 \right) \)
Первую часть упростим:
\( (2n — 1) + (2n + 1) = 2n — 1 + 2n + 1 = 4n \).
Теперь рассмотрим вторую часть: \( (2n — 1)^2 — (2n — 1)(2n + 1) + (2n + 1)^2 \). Разложим каждый из этих выражений:
\( (2n — 1)^2 = 4n^2 — 4n + 1 \),
\( (2n — 1)(2n + 1) = 4n^2 — 1 \),
\( (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 \).
Теперь подставим эти выражения в исходное:
\( (4n^2 — 4n + 1) — (4n^2 — 1) + (4n^2 + 4n + 1) \).
Упростим выражение, выполняя сложение и вычитание:
\( 4n^2 — 4n + 1 — 4n^2 + 1 + 4n^2 + 4n + 1 = 4n^2 — 4n + 4n + 3 = 4n^2 + 3 \).
Теперь подставим всё обратно в исходное выражение:
\( (2n — 1)^3 + (2n + 1)^3 = 4n \cdot (4n^2 + 3) \).
Теперь проверим, делится ли это выражение на 4. Выражение \( 4n \cdot (4n^2 + 3) \) очевидно делится на 4, так как первый множитель \( 4n \) уже делится на 4.
Таким образом, сумма кубов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 4.
Ответ: Да, сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!