ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

Пусть даны два последовательных натуральных числа, не кратные числу 3: \( (3n — 1) \) и \( (3n + 1) \).
Тогда:

\( (3n — 1)^3 + (3n + 1)^3 = ((3n — 1) + (3n + 1)) \cdot \)

\( \cdot ((3n — 1)^2 — (3n — 1)(3n + 1) + (3n + 1)^2) = (3n — 1 + 3n + 1) \cdot \)

\( \cdot (9n^2 — 6n + 1 — 9n^2 + 1 + 9n^2 + 6n + 1) = 6n \cdot (9n^2 + 3) = \)

\( = 6n \cdot 3 \cdot (3n^2 + 1) = 18n \cdot (3n^2 + 1) \to \) делится нацело на 9, так как 18 делится нацело на 9.

Что и требовалось доказать.

Задача состоит в том, чтобы доказать, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

Пусть два последовательных натуральных числа имеют вид:

\( (3n — 1) \) и \( (3n + 1) \), где \( n \) — натуральное число. Из условия задачи следует, что эти числа не кратны 3, так как они имеют вид \( 3n — 1 \) и \( 3n + 1 \), то есть они не могут быть кратны 3.

Нам нужно доказать, что сумма их кубов \( (3n — 1)^3 + (3n + 1)^3 \) делится нацело на 9.

Для этого используем формулу для суммы кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \). Подставим \( a = 3n — 1 \) и \( b = 3n + 1 \):

\( (3n — 1)^3 + (3n + 1)^3 = \\ = ((3n — 1) + (3n + 1)) \cdot \left( (3n — 1)^2 — (3n — 1)(3n + 1) + (3n + 1)^2 \right) \)

Упростим первую часть выражения:

\( (3n — 1) + (3n + 1) = 3n — 1 + 3n + 1 = 6n \).

Теперь упростим вторую часть выражения. Для этого раскроем квадратные и произведения:

\( (3n — 1)^2 = 9n^2 — 6n + 1 \),

\( (3n + 1)^2 = 9n^2 + 6n + 1 \),

\( (3n — 1)(3n + 1) = (3n)^2 — 1^2 = 9n^2 — 1 \).

Теперь подставим эти выражения в исходное выражение для суммы кубов:

\( (3n — 1)^3 + (3n + 1)^3 = 6n \cdot \left( (9n^2 — 6n + 1) — (9n^2 — 1) + (9n^2 + 6n + 1) \right) \).

Упростим выражение в скобках:

\( (9n^2 — 6n + 1) — (9n^2 — 1) + (9n^2 + 6n + 1) = \\ = 9n^2 — 6n + 1 — 9n^2 + 1 + 9n^2 + 6n + 1 = 9n^2 + 3 \)

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное выражение для суммы кубов:

\( (3n — 1)^3 + (3n + 1)^3 = 6n \cdot (9n^2 + 3) \).

Упростим выражение:

\( 6n \cdot (9n^2 + 3) = 6n \cdot 3 \cdot (3n^2 + 1) = 18n \cdot (3n^2 + 1) \).

Теперь проверим, делится ли это выражение на 9. Очевидно, что \( 18n \cdot (3n^2 + 1) \) делится на 9, так как множитель 18 делится на 9. Следовательно, вся сумма кубов делится нацело на 9.

Ответ: Да, сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.