ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что числа х и у таковы, что \( x^2 + y^2 = 1 \). Найдите значение выражения \( x^6 + 3x^2y^2 + y^6 \).

Известно, что \( x^2 + y^2 = 1 \), тогда:

\( x^6 + 3x^2y^2 + y^6 = (x^6 + y^6) + 3x^2y^2 = \)

\( = \Big((x^2 + y^2)(x^4 — x^2y^2 + y^4)\Big) + 3x^2y^2 = \Big(1 \cdot (x^4 — x^2y^2 + y^4)\Big) + \)

\( + 3x^2y^2 = x^4 — x^2y^2 + y^4 + 3x^2y^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = \)

\( = (x^2 + y^2)^2 = 1^2 = 1 \).

Ответ: 1.

Из условия задачи известно, что \( x^2 + y^2 = 1 \). Необходимо найти значение выражения:

\( x^6 + 3x^2y^2 + y^6 \).

Для начала преобразуем данное выражение. Заметим, что \( x^6 + y^6 \) можно выразить через \( x^2 \) и \( y^2 \), используя разложение по формуле для суммы кубов:

\( x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3 \). Это выражение можно разложить по формуле суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \), где \( a = x^2 \) и \( b = y^2 \). Тогда:

\( x^6 + y^6 = (x^2 + y^2)\left((x^2)^2 — x^2y^2 + (y^2)^2\right) \).

Так как \( x^2 + y^2 = 1 \) по условию задачи, получаем:

\( x^6 + y^6 = 1 \cdot \left( x^4 — x^2y^2 + y^4 \right) = x^4 — x^2y^2 + y^4 \).

Теперь вернемся к выражению, которое нужно найти: \( x^6 + 3x^2y^2 + y^6 \). Мы можем записать это выражение как:

\( x^6 + 3x^2y^2 + y^6 = (x^6 + y^6) + 3x^2y^2 \).

Теперь подставим выражение для \( x^6 + y^6 \), которое мы нашли выше:

\( x^6 + 3x^2y^2 + y^6 = (x^4 — x^2y^2 + y^4) + 3x^2y^2 \).

Упростим это выражение:

\( x^6 + 3x^2y^2 + y^6 = x^4 — x^2y^2 + y^4 + 3x^2y^2 \).

Теперь сгруппируем подобные члены:

\( x^6 + 3x^2y^2 + y^6 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \).

Заметим, что выражение \( x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \) является полным квадратом, то есть:

\( x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 \).

Так как по условию задачи \( x^2 + y^2 = 1 \), подставляем это значение в выражение:

\( (x^2 + y^2)^2 = 1^2 = 1 \).

Таким образом, значение выражения \( x^6 + 3x^2y^2 + y^6 \) равно 1.

Ответ: 1.