ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что числа х и у таковы, что \( x^3 — y^2 = 2 \). Найдите значение выражения \( x^9 — 6x^3 y^2 — y^6 \).

Известно, что \( x^3 — y^2 = 2 \), тогда:

\( x^9 — 6x^3y^2 — y^6 = (x^9 — y^6) — 6x^3y^2 = \)

\( = \Big((x^3 — y^2)(x^6 + x^3y^2 + y^4)\Big) — 6x^3y^2 = \)

\( = 2(x^6 + x^3y^2 + y^4) — 6x^3y^2 = 2x^6 + 2x^3y^2 + 2y^4 — 6x^3y^2 = \)

\( = 2x^6 — 4x^3y^2 + 2y^4 = 2(x^6 — 2x^3y^2 + y^4) = 2(x^3 — y^2)^2 = \)

\( = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8 \).

Ответ: 8.

Из условия задачи известно, что \( x^3 — y^2 = 2 \). Нам нужно найти значение выражения:

\( x^9 — 6x^3 y^2 — y^6 \).

Рассмотрим выражение \( x^9 — 6x^3 y^2 — y^6 \). Мы можем разделить его на два слагаемых:

\( x^9 — y^6 — 6x^3 y^2 \).

Первое слагаемое можно представить в виде разности кубов:

\( x^9 — y^6 = (x^3)^3 — (y^2)^3 \).

Используем формулу разности кубов \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \), где \( a = x^3 \) и \( b = y^2 \). Тогда:

\( x^9 — y^6 = (x^3 — y^2)(x^6 + x^3 y^2 + y^4) \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( x^9 — 6x^3 y^2 — y^6 = (x^3 — y^2)(x^6 + x^3 y^2 + y^4) — 6x^3 y^2 \).

Из условия задачи нам известно, что \( x^3 — y^2 = 2 \). Подставим это значение:

\( 2(x^6 + x^3 y^2 + y^4) — 6x^3 y^2 \).

Теперь раскроем скобки:

\( 2x^6 + 2x^3 y^2 + 2y^4 — 6x^3 y^2 \).

Теперь сгруппируем похожие члены, и у нас получится:

\( 2x^6 — 4x^3 y^2 + 2y^4 \).

Теперь заметим, что выражение можно вынести за скобки:

\( 2(x^6 — 2x^3 y^2 + y^4) \).

Теперь заменим \( x^3 — y^2 \) на 2, так как по условию задачи \( x^3 — y^2 = 2 \), и получим:

\( 2(2)^2 = 2 \cdot 4 = 8 \).

Ответ: 8.