ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если а + b + с = 0, то a³ + b³ + c³ = 3abc.

Известно, что \( a + b + c = 0 \), тогда \( c = -a — b \) или \( c = -(a + b) \).

\( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)

\( a^3 + b^3 + (-(a + b))^3 = 3ab(-(a + b)) \)

\( (a^3 + b^3) — (a + b)^3 = -3ab(a + b) \)

\( a^3 + b^3 — (a + b)(a + b)^2 = -3ab(a + b) \)

\( a^3 + b^3 — (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = -3ab(a + b) \)

\( a^3 + b^3 — (a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3) = -3ab(a + b) \)

\( a^3 + b^3 — (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) = -3ab(a + b) \)

\( a^3 + b^3 — a^3 — 3a^2b — 3ab^2 — b^3 = -3ab(a + b) \)

\( -3a^2b — 3ab^2 = -3ab(a + b) \)

\( -3ab(a + b) = -3ab(a + b) \)

\( 3abc = 3abc \to \) что и требовалось доказать.

Задача заключается в том, чтобы доказать, что если \( a + b + c = 0 \), то \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \).

Для этого начнем с выражения \( a^3 + b^3 + c^3 \). Мы будем использовать известную алгебраическую формулу для суммы кубов, которая гласит:

\( a^3 + b^3 + c^3 — 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ca) \).

Из условия задачи нам дано, что \( a + b + c = 0 \). Подставим это значение в формулу:

\( a^3 + b^3 + c^3 — 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ca) = \\ = 0 \cdot (a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ca) \)

Очевидно, что правая часть выражения равна нулю, так как произведение на ноль дает ноль:

\( a^3 + b^3 + c^3 — 3abc = 0 \).

Теперь перенесем \( 3abc \) на правую сторону:

\( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \).

Таким образом, мы доказали, что если \( a + b + c = 0 \), то \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \).

Ответ: доказано, что \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \), если \( a + b + c = 0 \).