ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) \(a^3 + 8 \)

2) \(c^3 — 64 \)

3) \(125 — b^3 \)

4) \(1 + x^3 \)

5) \(a^3 + 1000 \)

6) \(27a^3 — 1 \)

7) \(1000c^3 — 216 \)

8) \(a^3b^3 — 1\)

9) \(m^3n^3 + 0,001 \)

10) \(\frac{64}{343}m^3 — \frac{125}{216}n^3\)

11) \(8m^6 + 27n^9 \)

12) \(m^6n^3 — p^{12} \)

13) \(0,027x^{21} + 0,125y^{24} \)

14) \(0,216 — 8c^{27} \)

15) \(1000a^{12}b^3 + 0,001c^6d^{15} \)

1) \(a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 — 2a + 4);\)

2) \(c^3 — 64 = c^3 — 4^3 = (c — 4)(c^2 + 4c + 16);\)

3) \(125 — b^3 = 5^3 — b^3 = (5 — b)(25 + 5b + b^2);\)

4) \(1 + x^3 = (1 + x)(1 — x + x^2);\)

5) \(a^3 + 1000 = a^3 + 10^3 = (a + 10)(a^2 — 10a + 100);\)

6) \(27a^3 — 1 = (3a)^3 — 1^3 = (3a — 1)(9a^2 + 3a + 1);\)

7) \(1000c^3 — 216 = (10c)^3 — 6^3 = (10c — 6)(100c^2 + 60c + 36);\)

8) \(a^3b^3 — 1 = (ab — 1)(a^2b^2 + ab + 1);\)

9) \(m^3n^3 + 0,001 = m^3n^3 + (0,1)^3 = (mn + 0,1)(m^2n^2 — 0,1mn + 0,01);\)

10) \(\frac{64}{343}m^3 — \frac{125}{216}n^3 = \left(\frac{4}{7}m\right)^3 — \left(\frac{5}{6}n\right)^3 = \)

\(= \left(\frac{4}{7}m — \frac{5}{6}n\right)\left(\frac{16}{49}m^2 + \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 6}mn + \frac{25}{36}n^2\right) = \)

\(= \left(\frac{4}{7}m — \frac{5}{6}n\right)\left(\frac{16}{49}m^2 + \frac{10}{21}mn + \frac{25}{36}n^2\right);\)

11) \(8m^6 + 27n^9 = (2m^2)^3 + (3n^3)^3 = \)

\(= (2m^2 + 3n^3)(4m^4 — 6m^2n^3 + 9n^6);\)

12) \(m^6n^3 — p^{12} = (m^2n)^3 — (p^4)^3 = \)

\(= (m^2n — p^4)(m^4n^2 + m^2np^4 + p^8);\)

13) \(0,027x^{21} + 0,125y^{24} = (0,3x^7)^3 + (0,5y^8)^3 = \)

\(= (0,3x^7 + 0,5y^8)(0,09x^{14} — 0,15x^7y^8 + 0,25y^{16});\)

14) \(0,216 — 8c^{27} = (0,6)^3 — (2c^9)^3 = \)

\(= (0,6 — 2c^9)(0,36 + 1,2c^9 + 4c^{18});\)

15) \(1000a^{12}b^3 + 0,001c^6d^{15} = (10a^4b)^3 + (0,1c^2d^5)^3 = \)

\(= (10a^4b + 0,1c^2d^5)(100a^8b^2 — a^4bc^2d^5 + 0,01c^4d^{10}).\)

1) \(a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 — 2a + 4);\)

В данном случае у нас сумма кубов: \(a^3 + 8\). Мы можем применить формулу для суммы кубов:
\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), где \(x = a\) и \(y = 2\). Подставляя значения, получаем разложение:
\(a^3 + 8 = (a + 2)(a^2 — 2a + 4)\). Здесь \(a + 2\) — это линейный множитель, а \(a^2 — 2a + 4\) — квадратный множитель.

2) \(c^3 — 64 = c^3 — 4^3 = (c — 4)(c^2 + 4c + 16);\)

Это разность кубов: \(c^3 — 64\), где \(64 = 4^3\). Для разности кубов используется формула:
\(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), где \(x = c\) и \(y = 4\). Подставляем и получаем разложение:
\(c^3 — 64 = (c — 4)(c^2 + 4c + 16)\). Множители \(c — 4\) и \(c^2 + 4c + 16\) — это линейный и квадратный множители соответственно.

3) \(125 — b^3 = 5^3 — b^3 = (5 — b)(25 + 5b + b^2);\)

В этом примере разность кубов: \(5^3 — b^3\). Применяем формулу для разности кубов:
\(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), где \(x = 5\) и \(y = b\). Получаем разложение:
\(5^3 — b^3 = (5 — b)(25 + 5b + b^2)\). Множители — это \(5 — b\) и \(25 + 5b + b^2\).

4) \(1 + x^3 = (1 + x)(1 — x + x^2);\)

Это выражение представляет собой сумму кубов: \(1 + x^3\). Используем формулу для суммы кубов:
\(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 — x + 1)\), где \(x = x\). Подставляем и получаем разложение:
\(1 + x^3 = (1 + x)(1 — x + x^2)\). Здесь \(1 + x\) — линейный множитель, а \(1 — x + x^2\) — квадратный множитель.

5) \(a^3 + 1000 = a^3 + 10^3 = (a + 10)(a^2 — 10a + 100);\)

Это сумма кубов: \(a^3 + 1000\), где \(1000 = 10^3\). Применяем формулу для суммы кубов:
\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), где \(x = a\) и \(y = 10\). Получаем разложение:
\(a^3 + 10^3 = (a + 10)(a^2 — 10a + 100)\). Множители — это \(a + 10\) и \(a^2 — 10a + 100\).

6) \(27a^3 — 1 = (3a)^3 — 1^3 = (3a — 1)(9a^2 + 3a + 1);\)

Здесь разность кубов: \((3a)^3 — 1^3\). Применяем формулу для разности кубов:
\(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), где \(x = 3a\) и \(y = 1\). Получаем разложение:
\((3a)^3 — 1^3 = (3a — 1)(9a^2 + 3a + 1)\). Множители — это \(3a — 1\) и \(9a^2 + 3a + 1\).

7) \(1000c^3 — 216 = (10c)^3 — 6^3 = (10c — 6)(100c^2 + 60c + 36);\)

Это разность кубов: \((10c)^3 — 6^3\). Применяем формулу для разности кубов:
\(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), где \(x = 10c\) и \(y = 6\). Получаем разложение:
\((10c)^3 — 6^3 = (10c — 6)(100c^2 + 60c + 36)\). Множители — это \(10c — 6\) и \(100c^2 + 60c + 36\).

8) \(a^3b^3 — 1 = (ab — 1)(a^2b^2 + ab + 1);\)

Здесь разность кубов: \(a^3b^3 — 1\). Применяем формулу для разности кубов:
\(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), где \(x = ab\) и \(y = 1\). Получаем разложение:
\(a^3b^3 — 1 = (ab — 1)(a^2b^2 + ab + 1)\). Множители — это \(ab — 1\) и \(a^2b^2 + ab + 1\).

9) \(m^3n^3 + 0,001 = m^3n^3 + (0,1)^3 = (mn + 0,1)(m^2n^2 — 0,1mn + 0,01);\)

Это сумма кубов: \(m^3n^3 + (0,1)^3\). Применяем формулу для суммы кубов:
\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), где \(x = mn\) и \(y = 0,1\). Получаем разложение:
\(m^3n^3 + (0,1)^3 = (mn + 0,1)(m^2n^2 — 0,1mn + 0,01)\). Множители — это \(mn + 0,1\) и \(m^2n^2 — 0,1mn + 0,01\).

10) \(\frac{64}{343}m^3 — \frac{125}{216}n^3 = \left(\frac{4}{7}m\right)^3 — \left(\frac{5}{6}n\right)^3 =\)

\(= \left(\frac{4}{7}m — \frac{5}{6}n\right)\left(\frac{16}{49}m^2 + \frac{10}{21}mn + \frac{25}{36}n^2\right);\)

Это разность кубов: \(\left(\frac{4}{7}m\right)^3 — \left(\frac{5}{6}n\right)^3\). Применяем формулу для разности кубов:
\(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), где \(x = \frac{4}{7}m\) и \(y = \frac{5}{6}n\). Получаем разложение:
\(\left(\frac{4}{7}m\right)^3 — \left(\frac{5}{6}n\right)^3 = \left(\frac{4}{7}m — \frac{5}{6}n\right)\left(\frac{16}{49}m^2 + \frac{10}{21}mn + \frac{25}{36}n^2\right)\).

11) \(8m^6 + 27n^9 = (2m^2)^3 + (3n^3)^3 = (2m^2 + 3n^3)(4m^4 — 6m^2n^3 + 9n^6);\)

Это сумма кубов: \((2m^2)^3 + (3n^3)^3\). Применяем формулу для суммы кубов:
\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), где \(x = 2m^2\) и \(y = 3n^3\). Получаем разложение:
\((2m^2)^3 + (3n^3)^3 = (2m^2 + 3n^3)(4m^4 — 6m^2n^3 + 9n^6)\).

12) \(m^6n^3 — p^{12} = (m^2n)^3 — (p^4)^3 = (m^2n — p^4)(m^4n^2 + m^2np^4 + p^8);\)

Это разность кубов: \((m^2n)^3 — (p^4)^3\). Применяем формулу для разности кубов:
\(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), где \(x = m^2n\) и \(y = p^4\). Получаем разложение:
\((m^2n)^3 — (p^4)^3 = (m^2n — p^4)(m^4n^2 + m^2np^4 + p^8)\).

13) \(0,027x^{21} + 0,125y^{24} = (0,3x^7)^3 + (0,5y^8)^3 =\)

\(= (0,3x^7 + 0,5y^8)(0,09x^{14} — 0,15x^7y^8 + 0,25y^{16});\)

Это сумма кубов: \((0,3x^7)^3 + (0,5y^8)^3\). Применяем формулу для суммы кубов:
\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), где \(x = 0,3x^7\) и \(y = 0,5y^8\). Получаем разложение:
\((0,3x^7)^3 + (0,5y^8)^3 = (0,3x^7 + 0,5y^8)(0,09x^{14} — 0,15x^7y^8 + 0,25y^{16})\).

14) \(0,216 — 8c^{27} = (0,6)^3 — (2c^9)^3 = (0,6 — 2c^9)(0,36 + 1,2c^9 + 4c^{18});\)

Это разность кубов: \((0,6)^3 — (2c^9)^3\). Применяем формулу для разности кубов:
\(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), где \(x = 0,6\) и \(y = 2c^9\). Получаем разложение:
\((0,6)^3 — (2c^9)^3 = (0,6 — 2c^9)(0,36 + 1,2c^9 + 4c^{18})\).

15) \(1000a^{12}b^3 + 0,001c^6d^{15} = (10a^4b)^3 + (0,1c^2d^5)^3 =\)

\(= (10a^4b + 0,1c^2d^5)(100a^8b^2 — a^4bc^2d^5 + 0,01c^4d^{10}).\)

Это сумма кубов: \((10a^4b)^3 + (0,1c^2d^5)^3\). Применяем формулу для суммы кубов:
\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), где \(x = 10a^4b\) и \(y = 0,1c^2d^5\). Получаем разложение:
\((10a^4b)^3 + (0,1c^2d^5)^3 = \\ = (10a^4b + 0,1c^2d^5)(100a^8b^2 — a^4bc^2d^5 + 0,01c^4d^{10}).\)