ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какая последняя цифра значения выражения \( 3^{16} + 7^{16} \)?

\( 3^{16} + 7^{16} = (3^4)^4 + (7^2)^8 = 81^4 + 49^8 = \ldots 1 + \ldots 1 = \ldots 2 \).

Так как число 1 в любой степени оканчивается на 1,
и число 9 в четной степени оканчивается на 1, то их сумма равна 2.

Ответ: 2.

Задача состоит в том, чтобы найти последнюю цифру значения выражения \( 3^{16} + 7^{16} \). Для этого мы будем искать последние цифры степеней чисел \( 3^{16} \) и \( 7^{16} \) по отдельности, а затем сложим их последние цифры.

1. Нахождение последней цифры числа \( 3^{16} \):

Для начала рассмотрим последние цифры степеней числа \( 3 \). Обратим внимание, что последние цифры степеней числа \( 3 \) образуют период, который повторяется с определенным шагом. Вычислим несколько первых степеней числа \( 3 \) для того, чтобы найти этот период:

• \( 3^1 = 3 \) (последняя цифра 3),
• \( 3^2 = 9 \) (последняя цифра 9),
• \( 3^3 = 27 \) (последняя цифра 7),
• \( 3^4 = 81 \) (последняя цифра 1).

Как мы видим, последние цифры степеней числа \( 3 \) повторяются с периодом 4: \( 3, 9, 7, 1 \). Таким образом, последняя цифра \( 3^{16} \) будет совпадать с последней цифрой \( 3^4 \), так как \( 16 \) делится на 4 (весь период состоит из 4 чисел).

Последняя цифра \( 3^{16} \) — это 1.

2. Нахождение последней цифры числа \( 7^{16} \):

Теперь рассмотрим последние цифры степеней числа \( 7 \). Также вычислим несколько первых степеней числа \( 7 \), чтобы найти период последних цифр:

• \( 7^1 = 7 \) (последняя цифра 7),
• \( 7^2 = 49 \) (последняя цифра 9),
• \( 7^3 = 343 \) (последняя цифра 3),
• \( 7^4 = 2401 \) (последняя цифра 1).

Как и в случае с числом \( 3 \), последние цифры степеней числа \( 7 \) повторяются с периодом 4: \( 7, 9, 3, 1 \). Таким образом, последняя цифра \( 7^{16} \) будет совпадать с последней цифрой \( 7^4 \), так как \( 16 \) также делится на 4.

Последняя цифра \( 7^{16} \) — это 1.

3. Сложение последних цифр:

Теперь, когда мы знаем последние цифры \( 3^{16} \) и \( 7^{16} \), мы можем сложить их:

Последняя цифра \( 3^{16} + 7^{16} = 1 + 1 = 2 \).

Ответ: последняя цифра значения выражения \( 3^{16} + 7^{16} \) — это 2.