ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение каждого из следующих выражений при a = 1 и a = -1:

1) \( a + a^2 + a^3 + a^4 + \cdots + a^{99} + a^{100} \)

2) \( a + a^2 + a^3 + a^4 + \cdots + a^{98} + a^{99} \)

3) \( aa^2a^3a^4 \ldots a^{99}a^{100} \)

4) \( aa^2a^3a^4 \ldots a^{98}a^{99} \)

1) \( a + a^2 + a^3 + a^4 + \cdots + a^{99} + a^{100} \).
Степеней с четными показателями 50, и с нечетными — 50.
Тогда, при \( a = 1 \):
\( 1 + 1^2 + 1^3 + 1^4 + \cdots + 1^{99} + 1^{100} = 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots + 1 + 1 = 100 \).
При \( a = -1 \):
\( (-1) + (-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4 + \cdots + (-1)^{99} + (-1)^{100} = \)
\( = 50 — 50 = 0 \).

2) \( a + a^2 + a^3 + a^4 + \cdots + a^{98} + a^{99} \).
Степеней с четными показателями 49, а с нечетными — 50.
Тогда, при \( a = 1 \):
\( 1 + 1^2 + 1^3 + 1^4 + \cdots + 1^{98} + 1^{99} = 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots + 1 + 1 = 99 \).
При \( a = -1 \):
\( (-1) + (-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4 + \cdots + (-1)^{98} + (-1)^{99} = \)
\( = 49 — 50 = -1 \).

3) \( aa^2a^3a^4 \ldots a^{99}a^{100} \).
Степеней с четными показателями 50, и с нечетными — 50.
Тогда, при \( a = 1 \):
\( 1 \cdot 1^2 \cdot 1^3 \cdot 1^4 \cdot \ldots \cdot 1^{99} \cdot 1^{100} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot 1 = 1 \).
При \( a = -1 \):
\( (-1) \cdot (-1)^2 \cdot (-1)^3 \cdot (-1)^4 \cdot \ldots \cdot (-1)^{99} \cdot (-1)^{100} = \)
\( = 1 \cdot 1 = 1 \).

4) \( aa^2a^3a^4 \ldots a^{98}a^{99} \).
Степеней с четными показателями 49, а с нечетными — 50.
Тогда, при \( a = 1 \):
\( 1 \cdot 1^2 \cdot 1^3 \cdot 1^4 \cdot \ldots \cdot 1^{98} \cdot 1^{99} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot 1 = 1 \).
При \( a = -1 \):
\( (-1) \cdot (-1)^2 \cdot (-1)^3 \cdot (-1)^4 \cdot \ldots \cdot (-1)^{98} \cdot (-1)^{99} = \)
\( = 1 \cdot (-1) = -1 \).

1) \( a + a^2 + a^3 + a^4 + \cdots + a^{99} + a^{100} \).

Для первого выражения рассчитаем, как оно выглядит при разных значениях \( a \).

При \( a = 1 \):
\( 1 + 1^2 + 1^3 + 1^4 + \cdots + 1^{99} + 1^{100} = 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots + 1 + 1 \).
Так как все степени 1 дают 1, то сумма будет состоять из 100 единиц, и результат будет равен 100:

Результат: \( 100 \).

При \( a = -1 \):
\( (-1) + (-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4 + \cdots + (-1)^{99} + (-1)^{100} \).
Чередование знаков при возведении -1 в степени даёт следующий результат:
Все чётные степени -1 дают 1, а все нечётные — -1.
Таким образом, 50 отрицательных единиц и 50 положительных дают в сумме 0:

Результат: \( 0 \).

2) \( a + a^2 + a^3 + a^4 + \cdots + a^{98} + a^{99} \).

Здесь выражение схоже с предыдущим, но количество членов уменьшилось на 1. Рассмотрим, как оно изменяется при \( a = 1 \) и \( a = -1 \).

При \( a = 1 \):
\( 1 + 1^2 + 1^3 + 1^4 + \cdots + 1^{98} + 1^{99} = 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots + 1 + 1 \).
Здесь результат будет равен 99, так как мы суммируем 99 единиц:

Результат: \( 99 \).

При \( a = -1 \):
\( (-1) + (-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4 + \cdots + (-1)^{98} + (-1)^{99} \).
Так же, как и в предыдущем случае, чётные степени дают 1, а нечётные — -1.
Количество положительных единиц: 49, а отрицательных: 50. Сумма равна -1:

Результат: \( -1 \).

3) \( aa^2a^3a^4 \ldots a^{99}a^{100} \).

Теперь рассмотрим произведение всех степеней \( a \), начиная от \( a \) до \( a^{100} \). Это выражение является произведением всех членов от \( a^1 \) до \( a^{100} \).

При \( a = 1 \):
\( 1 \cdot 1^2 \cdot 1^3 \cdot 1^4 \cdot \ldots \cdot 1^{99} \cdot 1^{100} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot 1 \).
Поскольку \( 1 \) в любой степени всегда равно 1, то результат равен 1:

Результат: \( 1 \).

При \( a = -1 \):
\( (-1) \cdot (-1)^2 \cdot (-1)^3 \cdot (-1)^4 \cdot \ldots \cdot (-1)^{99} \cdot (-1)^{100} \).
Здесь будет происходить следующее:
Чётные степени \( (-1) \) дают 1, а нечётные — -1. Таким образом, все множители с нечётными степенями дадут -1, а с чётными — 1.
Произведение всех этих множителей равно 1, так как общее количество нечётных степеней \( a \) (то есть \( -1 \)) — 50, а их произведение даёт 1:

Результат: \( 1 \).

4) \( aa^2a^3a^4 \ldots a^{98}a^{99} \).

Это выражение аналогично предыдущему, но только количество членов уменьшилось на 2.

При \( a = 1 \):
\( 1 \cdot 1^2 \cdot 1^3 \cdot 1^4 \cdot \ldots \cdot 1^{98} \cdot 1^{99} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot 1 \).
Здесь результат снова будет равен 1:

Результат: \( 1 \).

При \( a = -1 \):
\( (-1) \cdot (-1)^2 \cdot (-1)^3 \cdot (-1)^4 \cdot \ldots \cdot (-1)^{98} \cdot (-1)^{99} \).
Здесь произведение будет похоже на предыдущий случай, но на этот раз у нас 49 отрицательных единиц и 50 положительных. В результате произведение всех множителей с нечётными степенями будет равно -1:

Результат: \( -1 \).