ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) \(x^{3}-1\)

2) \(27+a^{3}\)

3) \(216-y^{3}\)

4) \(\frac{1}{8}a^{3}+b^{3}\)

5) \(a^{6}-8\)

6) \(a^{3}b^{3}-c^{3}\)

7) \(a^{3}-b^{15}c^{18}\)

8) \(125c^{3}d^{3}+0,008b^{3}\)

9) \(\frac{64}{729}x^{3}-\frac{27}{1000}y^{6}\)

1) \(x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)\);

2) \(27+a^{3}=3^{3}+a^{3}=(3+a)(9-3a+a^{2})\);

3) \(216-y^{3}=6^{3}-y^{3}=(6-y)(36+6y+y^{2})\);

4) \(\frac{1}{8}a^{3}+b^{3}=\left(\frac{1}{2}a\right)^{3}+b^{3}=\left(\frac{1}{2}a+b\right)\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}ab+b^{2}\right)\);

5) \(a^{6}-8=\left(a^{2}\right)^{3}-2^{3}=\left(a^{2}-2\right)\left(a^{4}+2a^{2}+4\right)\);

6) \(a^{3}b^{3}-c^{3}=(ab-c)\left(a^{2}b^{2}+abc+c^{2}\right)\);

7) \(a^{3}-b^{15}c^{18}=a^{3}-\left(b^{5}\right)^{3}\left(c^{6}\right)^{3}=\left(a-b^{5}c^{6}\right)\left(a^{2}+ab^{5}c^{6}+b^{10}c^{12}\right)\);

8) \(125c^{3}d^{3}+0,008b^{3}=(5cd)^{3}+(0,2b)^{3}=\)

\(=(5cd+0,2b)(25c^{2}d^{2}-bcd+0,04b^{2})\);

9) \(\frac{64}{729}x^{3}-\frac{27}{1000}y^{6}=\left(\frac{4}{9}x\right)^{3}-\left(\frac{3}{10}y^{2}\right)^{3}=\)

\(=\left(\frac{4}{9}x-\frac{3}{10}y^{2}\right)\left(\frac{16}{81}x^{2}+\frac{4\cdot3}{9\cdot10}xy^{2}+\frac{9}{100}y^{4}\right)=\)

\(=\left(\frac{4}{9}x-\frac{3}{10}y^{2}\right)\left(\frac{16}{81}x^{2}+\frac{2}{15}xy^{2}+\frac{9}{100}y^{4}\right)\).

1) \( x^{3} — 1 = (x — 1)(x^{2} + x + 1) \);

Для того чтобы разложить куб разности на множители, мы можем воспользоваться стандартной формулой разложения: \( a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2}) \), где \( a = x \) и \( b = 1 \). Получаем:
\( x^{3} — 1 = (x — 1)(x^{2} + x + 1) \)
Это и есть окончательная форма разложения.

2) \( 27 + a^{3} = 3^{3} + a^{3} = (3 + a)(9 — 3a + a^{2}) \);

Здесь мы видим сумму кубов: \( 27 + a^{3} \). Используя формулу для суммы кубов:
\( a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} — ab + b^{2}) \),
где \( a = 3 \) и \( b = a \), разлагаем на множители:
\( 27 + a^{3} = (3 + a)(9 — 3a + a^{2}) \).
Это разложение завершено.

3) \( 216 — y^{3} = 6^{3} — y^{3} = (6 — y)(36 + 6y + y^{2}) \);

Аналогично предыдущим примерам, здесь мы применяем формулу разности кубов:
\( a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2}) \),
где \( a = 6 \) и \( b = y \). Получаем:
\( 216 — y^{3} = (6 — y)(36 + 6y + y^{2}) \).
Это и есть разложение.

4) \( \frac{1}{8}a^{3} + b^{3} = \left( \frac{1}{2}a \right)^{3} + b^{3} = \left( \frac{1}{2}a + b \right) \left( \frac{1}{4}a^{2} — \frac{1}{2}ab + b^{2} \right) \);

В данном случае мы снова имеем сумму кубов. Используем формулу:
\( a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} — ab + b^{2}) \),
где \( a = \frac{1}{2}a \) и \( b = b \). Тогда:
\( \frac{1}{8}a^{3} + b^{3} = \left( \frac{1}{2}a + b \right) \left( \frac{1}{4}a^{2} — \frac{1}{2}ab + b^{2} \right) \).
Это разложение завершено.

5) \( a^{6} — 8 = \left( a^{2} \right)^{3} — 2^{3} = \left( a^{2} — 2 \right) \left( a^{4} + 2a^{2} + 4 \right) \);

Это разность кубов:
\( a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2}) \),
где \( a = a^{2} \) и \( b = 2 \). Разлагаем на множители:
\( a^{6} — 8 = (a^{2} — 2)(a^{4} + 2a^{2} + 4) \).
Это разложение завершено.

6) \( a^{3}b^{3} — c^{3} = (ab — c)\left(a^{2}b^{2} + abc + c^{2}\right) \);

Это также разность кубов:
\( a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2}) \),
где \( a = ab \) и \( b = c \). Получаем:
\( a^{3}b^{3} — c^{3} = (ab — c)(a^{2}b^{2} + abc + c^{2}) \).
Разложение завершено.

7) \( a^{3} — b^{15}c^{18} = a^{3} — \left( b^{5} \right)^{3} \left( c^{6} \right)^{3} = \left( a — b^{5}c^{6} \right) \left( a^{2} + ab^{5}c^{6} + b^{10}c^{12} \right) \);

Здесь мы разлагаем кубы:
\( a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2}) \),
где \( a = a \), \( b = b^{5}c^{6} \). Таким образом, получаем:
\( a^{3} — b^{15}c^{18} = (a — b^{5}c^{6})(a^{2} + ab^{5}c^{6} + b^{10}c^{12}) \).
Это разложение завершено.

8) \( 125c^{3}d^{3} + 0,008b^{3} = (5cd)^{3} + (0,2b)^{3} = \)

\( = (5cd + 0,2b)(25c^{2}d^{2} — bcd + 0,04b^{2}) \);

Здесь мы снова используем формулу для суммы кубов:
\( a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} — ab + b^{2}) \),
где \( a = 5cd \) и \( b = 0,2b \). Получаем:
\( 125c^{3}d^{3} + 0,008b^{3} = (5cd + 0,2b)(25c^{2}d^{2} — bcd + 0,04b^{2}) \).
Это разложение завершено.

9) \( \frac{64}{729}x^{3} — \frac{27}{1000}y^{6} = \left( \frac{4}{9}x \right)^{3} — \left( \frac{3}{10}y^{2} \right)^{3} = \)

\( = \left( \frac{4}{9}x — \frac{3}{10}y^{2} \right) \left( \frac{16}{81}x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 10}xy^{2} + \frac{9}{100}y^{4} \right) = \)

\( = \left( \frac{4}{9}x — \frac{3}{10}y^{2} \right) \left( \frac{16}{81}x^{2} + \frac{2}{15}xy^{2} + \frac{9}{100}y^{4} \right).\)

Здесь снова используем формулу разности кубов:
\( a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2}) \),
где \( a = \frac{4}{9}x \) и \( b = \frac{3}{10}y^{2} \). Получаем:
\( \frac{64}{729}x^{3} — \frac{27}{1000}y^{6} = \left( \frac{4}{9}x — \frac{3}{10}y^{2} \right) \left( \frac{16}{81}x^{2} + \frac{2}{15}xy^{2} + \frac{9}{100}y^{4} \right) \).
Это разложение завершено.