ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните умножение:

1) \( (b — 4)(b^2 + 4b + 16) \)

2) \( (2a + 3b)(4a^2 — 6ab + 9b^2) \)

3) \( (x^3 + 6y^2)(x^6 — 6x^3y^2 + 36y^4) \)

4) \( \left(\frac{1}{4}a — \frac{1}{5}b\right)\left(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2\right) \)

1) \( (b — 4)(b^2 + 4b + 16) = b^3 — 4^3 = b^3 — 64 \);

2) \( (2a + 3b)(4a^2 — 6ab + 9b^2) = (2a)^3 + (3b)^3 = 8a^3 + 27b^3 \);

3) \( (x^3 + 6y^2)(x^6 — 6x^3y^2 + 36y^4) = (x^3)^3 + (6y^2)^3 = x^9 + 216y^6 \);

4) \( \left(\frac{1}{4}a — \frac{1}{5}b\right)\left(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2\right) = \left(\frac{1}{4}a\right)^3 — \left(\frac{1}{5}b\right)^3 =\)

\(= \frac{1}{64}a^3 — \frac{1}{125}b^3 \).

1) \( (b — 4)(b^2 + 4b + 16) \)

Для начала применим формулу сокращённого умножения для разности кубов:

Формула разности кубов: \( (x — y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 — y^3 \).

Здесь \( x = b \) и \( y = 4 \), поэтому по формуле получаем:

\( (b — 4)(b^2 + 4b + 16) = b^3 — 4^3 \).

Теперь вычислим \( 4^3 \):

\( 4^3 = 64 \).

Таким образом, результат: \( b^3 — 64 \).

2) \( (2a + 3b)(4a^2 — 6ab + 9b^2) \)

Используем формулу для суммы кубов: \( (x + y)(x^2 — xy + y^2) = x^3 + y^3 \).

Здесь \( x = 2a \) и \( y = 3b \), подставляем в формулу:

\( (2a + 3b)(4a^2 — 6ab + 9b^2) = (2a)^3 + (3b)^3 \).

Вычисляем кубы:

\( (2a)^3 = 8a^3 \), \( (3b)^3 = 27b^3 \).

Итак, результат: \( 8a^3 + 27b^3 \).

3) \( (x^3 + 6y^2)(x^6 — 6x^3y^2 + 36y^4) \)

Это выражение также напоминает сумму кубов: \( (x + y)(x^2 — xy + y^2) = x^3 + y^3 \).

Здесь \( x = x^3 \) и \( y = 6y^2 \), поэтому по формуле имеем:

\( (x^3 + 6y^2)(x^6 — 6x^3y^2 + 36y^4) = (x^3)^3 + (6y^2)^3 \).

Вычисляем кубы:

\( (x^3)^3 = x^9 \), \( (6y^2)^3 = 216y^6 \).

Итак, результат: \( x^9 + 216y^6 \).

4) \( \left(\frac{1}{4}a — \frac{1}{5}b\right)\left(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2\right) \)

Используем формулу разности кубов для дробных выражений:

Здесь \( x = \frac{1}{4}a \) и \( y = \frac{1}{5}b \), подставляем в формулу:

\( \left(\frac{1}{4}a — \frac{1}{5}b\right)\left(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2\right) = \left(\frac{1}{4}a\right)^3 — \left(\frac{1}{5}b\right)^3 \).

Вычисляем кубы:

\( \left(\frac{1}{4}a\right)^3 = \frac{1}{64}a^3 \), \( \left(\frac{1}{5}b\right)^3 = \frac{1}{125}b^3 \).

Итак, результат: \( \frac{1}{64}a^3 — \frac{1}{125}b^3 \).