Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 19.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Разложите на множители:
1) \( (a + 6)^3 — 27 \)
2) \( (2x — 1)^3 + 64 \)
3) \( 8a^6 — (4a — 3)^3 \)
4) \( 1000 + (y — 10)^3 \)
5) \( (x + y)^3 — (x — y)^3 \)
6) \( (a — 2)^3 + (a + 2)^3 \)
1) \( (a + 6)^3 — 27 = (a + 6)^3 — 3^3 = ((a + 6) — 3) \cdot \)
\( \cdot ((a + 6)^2 + 3(a + 6) + 9) = (a + 3)(a^2 + 15a + 63) \);
2) \( (2x — 1)^3 + 64 = (2x — 1)^3 + 4^3 = ((2x — 1) + 4) \cdot \)
\( \cdot ((2x — 1)^2 — 4(2x — 1) + 16) = (2x + 3)(4x^2 — 12x + 21) \);
3) \( 8a^6 — (4a — 3)^3 = (2a^2)^3 — (4a — 3)^3 = (2a^2 — (4a — 3)) \cdot \)
\( \cdot (4a^4 + 2a^2(4a — 3) + (4a — 3)^2) = (2a^2 — 4a + 3) \cdot \)
\( \cdot (4a^4 + 8a^3 — 6a^2 + 16a^2 — 24a + 9) = (2a^2 — 4a + 3) \cdot \)
\( \cdot (4a^4 + 8a^3 + 10a^2 — 24a + 9) \);
4) \( 1000 + (y — 10)^3 = (10)^3 + (y — 10)^3 = (10 + (y — 10)) \cdot \)
\( \cdot (100 — 10(y — 10) + (y — 10)^2) = (10 + y — 10) \cdot \)
\( \cdot (100 — 10y + 100 + y^2 — 20y + 100) = y(y^2 — 30y + 300) \);
5) \( (x + y)^3 — (x — y)^3 = ((x + y) — (x — y)) \cdot \)
\( \cdot ((x + y)^2 + (x + y)(x — y) + (x — y)^2) = (x + y — x + y) \cdot \)
\( \cdot (x^2 + 2xy + y^2 + x^2 — y^2 + x^2 — 2xy + y^2) = 2y(3x^2 + y^2) \);
6) \( (a — 2)^3 + (a + 2)^3 = ((a — 2) + (a + 2)) \cdot \)
\( \cdot ((a — 2)^2 — (a — 2)(a + 2) + (a + 2)^2) = (a — 2 + a + 2) \cdot \)
\( \cdot (a^2 — 4a + 4 — a^2 + 4 + a^2 + 4a + 4) = 2a(a^2 + 12) \).
1) Разложим на множители выражение \( (a + 6)^3 — 27 \);
Для начала заметим, что это разность кубов:
Формула разности кубов: \( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \).
Здесь \( x = a + 6 \) и \( y = 3 \), поэтому по формуле разности кубов имеем:
\( (a + 6)^3 — 27 = ((a + 6) — 3) \cdot ((a + 6)^2 + 3(a + 6) + 9) \).
Теперь вычислим каждую часть:
1) \( (a + 6) — 3 = a + 3 \),
2) \( (a + 6)^2 = a^2 + 12a + 36 \),
3) \( 3(a + 6) = 3a + 18 \),
4) \( 9 \) — это просто константа.
Теперь подставляем в выражение:
\( (a + 3) \cdot (a^2 + 12a + 36 + 3a + 18 + 9) = (a + 3) \cdot (a^2 + 15a + 63) \).
Таким образом, разложение на множители будет следующим: \( (a + 3)(a^2 + 15a + 63) \).
2) Разложим на множители выражение \( (2x — 1)^3 + 64 \);
Здесь применяем формулу для суммы кубов:
Формула суммы кубов: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2) \).
Здесь \( x = 2x — 1 \) и \( y = 4 \), поэтому по формуле суммы кубов получаем:
\( (2x — 1)^3 + 64 = ((2x — 1) + 4) \cdot ((2x — 1)^2 — 4(2x — 1) + 16) \).
Теперь вычислим каждую часть:
1) \( (2x — 1) + 4 = 2x + 3 \),
2) \( (2x — 1)^2 = 4x^2 — 4x + 1 \),
3) \( -4(2x — 1) = -8x + 4 \),
4) \( 16 \) — это константа.
Теперь подставляем в выражение:
\( (2x + 3) \cdot (4x^2 — 4x + 1 — 8x + 4 + 16) = (2x + 3) \cdot (4x^2 — 12x + 21) \).
Таким образом, разложение на множители будет: \( (2x + 3)(4x^2 — 12x + 21) \).
3) Разложим на множители выражение \( 8a^6 — (4a — 3)^3 \);
Здесь применяем формулу разности кубов:
Формула разности кубов: \( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \).
Здесь \( x = 2a^2 \) и \( y = 4a — 3 \), подставляем в формулу:
\( 8a^6 — (4a — 3)^3 = (2a^2 — (4a — 3)) \cdot (4a^4 + 2a^2(4a — 3) + (4a — 3)^2) \).
Теперь вычислим каждую часть:
1) \( 2a^2 — (4a — 3) = 2a^2 — 4a + 3 \),
2) \( 4a^4 \) — это константа в первом члене,
3) \( 2a^2(4a — 3) = 8a^3 — 6a^2 \),
4) \( (4a — 3)^2 = 16a^2 — 24a + 9 \).
Теперь подставляем все части:
\( (2a^2 — 4a + 3) \cdot (4a^4 + 8a^3 — 6a^2 + 16a^2 — 24a + 9) \).
Таким образом, разложение на множители будет следующим: \( (2a^2 — 4a + 3)(4a^4 + 8a^3 + 10a^2 — 24a + 9) \).
4) Разложим на множители выражение \( 1000 + (y — 10)^3 \);
Здесь применяем формулу суммы кубов:
Формула суммы кубов: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2) \).
Здесь \( x = 10 \) и \( y = y — 10 \), подставляем в формулу:
\( 1000 + (y — 10)^3 = (10)^3 + (y — 10)^3 = (10 + (y — 10)) \cdot \)
\( \cdot (100 — 10(y — 10) + (y — 10)^2) \).
Теперь вычислим каждую часть:
1) \( 10 + (y — 10) = y \),
2) \( 100 — 10(y — 10) = 100 — 10y + 100 = 200 — 10y \),
3) \( (y — 10)^2 = y^2 — 20y + 100 \).
Теперь подставляем все части:
\( y \cdot (200 — 10y + y^2 — 20y + 100) = y(y^2 — 30y + 300) \).
Таким образом, разложение на множители будет: \( y(y^2 — 30y + 300) \).
5) Разложим на множители выражение \( (x + y)^3 — (x — y)^3 \);
Здесь применяем формулу разности кубов:
Формула разности кубов: \( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \).
Здесь \( x = x + y \) и \( y = x — y \), подставляем в формулу:
\( (x + y)^3 — (x — y)^3 = ((x + y) — (x — y)) \cdot ((x + y)^2 + (x + y)(x — y) +\)
\( + (x — y)^2) \).
Теперь вычислим каждую часть:
1) \( (x + y) — (x — y) = 2y \),
2) \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \),
3) \( (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2 \),
4) \( (x + y)(x — y) = x^2 — y^2 \).
Теперь подставляем все части:
\( 2y \cdot (x^2 + 2xy + y^2 + x^2 — y^2 + x^2 — 2xy + y^2) = 2y(3x^2 + y^2) \).
Таким образом, разложение на множители будет: \( 2y(3x^2 + y^2) \).
6) Разложим на множители выражение \( (a — 2)^3 + (a + 2)^3 \);
Здесь применяем формулу суммы кубов:
Формула суммы кубов: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2) \).
Здесь \( x = a — 2 \) и \( y = a + 2 \), подставляем в формулу:
\( (a — 2)^3 + (a + 2)^3 = ((a — 2) + (a + 2)) \cdot ((a — 2)^2 — (a — 2)(a + 2) +\)
\(+ (a + 2)^2) \).
Теперь вычислим каждую часть:
1) \( (a — 2) + (a + 2) = 2a \),
2) \( (a — 2)^2 = a^2 — 4a + 4 \),
3) \( (a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4 \),
4) \( (a — 2)(a + 2) = a^2 — 4 \).
Теперь подставляем все части:
\( 2a \cdot (a^2 — 4a + 4 — a^2 + 4 + a^2 + 4a + 4) = 2a(a^2 + 12) \).
Таким образом, разложение на множители будет: \( 2a(a^2 + 12) \).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!