ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 2.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( |x| + 6 = 13 \)

2) \( |x| — 7 = -12 \)

3) \( 7|x| — 3 = 0 \)

4) \( |x — 5| = 4. \)

5) \( |9 + x| = 0 \)

6) \( |x — 4| = -2  \)

7) \( |3x + 4| = 2 \)

8) \( |2x + 1| + 13 = 14 \)

9) \( |3x — 2| = |x + 1| \)

10) \( |x + 4| = |x — 6| \)

11) \( ||x| — 3| = 5 \)

1) \( |x| + 6 = 13 \)

\( |x| = 13 — 6 \)

\( |x| = 7 \)

\( x = \pm 7. \)

Ответ: \( x = \pm 7. \)

2) \( |x| — 7 = -12 \)

\( |x| = -12 + 7 \)

\( |x| = -5 \to \) корней нет, так как \( |x| \geq 0. \)

Ответ: корней нет.

3) \( 7|x| — 3 = 0 \)

\( 7|x| = 3 \)

\( |x| = \frac{3}{7} \)

\( x = \pm \frac{3}{7}. \)

Ответ: \( x = \pm \frac{3}{7}. \)

4) \( |x — 5| = 4. \)

\( x — 5 = -4 \) или \( x — 5 = 4 \)

\( x = -4 + 5 \quad\quad\quad x = 4 + 5 \)

\( x = 1 \quad\quad\quad\quad\quad x = 9. \)

Ответ: \( x = 1;\ x = 9. \)

5) \( |9 + x| = 0 \)

\( 9 + x = 0 \)

\( x = -9. \)

Ответ: \( x = -9. \)

6) \( |x — 4| = -2 \to \) корней нет, так как \( |x — 4| \geq 0. \)

Ответ: корней нет.

7) \( |3x + 4| = 2 \)

\( 3x + 4 = -2 \) или \( 3x + 4 = 2 \)

\( 3x = -6 \quad\quad\quad 3x = -2 \)

\( x = -2 \quad\quad\quad\quad x = -\frac{2}{3}. \)

Ответ: \( x = -2;\ x = -\frac{2}{3}. \)

8) \( |2x + 1| + 13 = 14 \)

\( |2x + 1| = 14 — 13 \)

\( |2x + 1| = 1 \)

\( 2x + 1 = -1 \) или \( 2x + 1 = 1 \)

\( 2x = -2 \quad\quad\quad 2x = 0 \)

\( x = -1 \quad\quad\quad\quad x = 0. \)

Ответ: \( x = -1;\ x = 0. \)

9) \( |3x — 2| = |x + 1| \)

\( 3x — 2 = -(x + 1) \) или \( 3x — 2 = x + 1 \)

\( 3x — 2 = -x — 1 \quad\quad\quad 3x — x = 1 + 2 \)

\( 3x + x = -1 + 2 \quad\quad\quad 2x = 3 \)

\( 4x = 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x = 1,5; \)

\( x = \frac{1}{4}. \)

Ответ: \( x = \frac{1}{4};\ x = 1,5. \)

10) \( |x + 4| = |x — 6| \)

\( x + 4 = -(x — 6) \) или \( x + 4 = x — 6 \)

\( x + 4 = -x + 6 \quad\quad\quad x — x = -6 — 4 \)

\( x + x = 6 — 4 \quad\quad\quad\quad 0x = -10 \)

\( 2x = 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \) корней нет;

\( x = 1. \)

Ответ: \( x = 1. \)

11) \( ||x| — 3| = 5 \)

\( |x| — 3 = -5 \) или \( |x| — 3 = 5 \)

\( |x| = -2 \quad\quad\quad\quad\quad |x| = 8 \)

корней нет, \(\quad\quad\quad\quad\quad x = \pm 8. \)

Ответ: \( x = \pm 8. \)

1) Решим уравнение \( |x| + 6 = 13 \)

Сначала изолируем модуль:

\( |x| = 13 — 6 \)

Вычисляем:

\( |x| = 7 \)

Теперь учитываем определение модуля: если \( |x| = a \), то \( x = a \) или \( x = -a \)

Следовательно:

\( x = 7 \) или \( x = -7 \)

Или кратко:

\( x = \pm 7 \)

Ответ: \( x = \pm 7 \)

2) Решим \( |x| — 7 = -12 \)

Изолируем модуль:

\( |x| = -12 + 7 \)

Вычисляем:

\( |x| = -5 \)

Так как модуль всегда неотрицателен (\( |x| \geq 0 \)), отрицательного значения не может быть

Следовательно, уравнение не имеет решений

Ответ: корней нет

3) Решим \( 7|x| — 3 = 0 \)

Изолируем модуль:

\( 7|x| = 3 \)

Делим обе части на 7:

\( |x| = \frac{3}{7} \)

Теперь учитываем определение модуля:

\( x = \frac{3}{7} \) или \( x = -\frac{3}{7} \)

Ответ: \( x = \pm \frac{3}{7} \)

4) Решим \( |x — 5| = 4 \)

По определению модуля, если \( |A| = B \), то \( A = B \) или \( A = -B \)

Применяем это к нашему уравнению:

\( x — 5 = 4 \) или \( x — 5 = -4 \)

Решаем каждое:

1) \( x — 5 = 4 \Rightarrow x = 4 + 5 = 9 \)

2) \( x — 5 = -4 \Rightarrow x = -4 + 5 = 1 \)

Ответ: \( x = 1; x = 9 \)

5) Решим \( |9 + x| = 0 \)

Так как модуль неотрицателен, чтобы он был равен нулю:

\( 9 + x = 0 \)

Решаем:

\( x = -9 \)

Ответ: \( x = -9 \)

6) Решим \( |x — 4| = -2 \)

Модуль не может быть отрицательным. Значит, решения нет

Ответ: корней нет

7) Решим \( |3x + 4| = 2 \)

Применяем определение модуля:

\( 3x + 4 = 2 \) или \( 3x + 4 = -2 \)

Решаем каждое уравнение:

1) \( 3x + 4 = 2 \Rightarrow 3x = 2 — 4 \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3} \)

2) \( 3x + 4 = -2 \Rightarrow 3x = -2 — 4 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2 \)

Ответ: \( x = -2; x = -\frac{2}{3} \)

8) Решим \( |2x + 1| + 13 = 14 \)

Сначала изолируем модуль:

\( |2x + 1| = 14 — 13 \)

Вычисляем:

\( |2x + 1| = 1 \)

Применяем определение модуля:

\( 2x + 1 = 1 \) или \( 2x + 1 = -1 \)

Решаем каждое:

1) \( 2x + 1 = 1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \)

2) \( 2x + 1 = -1 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1 \)

Ответ: \( x = -1; x = 0 \)

9) Решим \( |3x — 2| = |x + 1| \)

Модульное уравнение \( |A| = |B| \) эквивалентно:

\( A = B \) или \( A = -B \)

Применяем это:

1) \( 3x — 2 = x + 1 \)

\( 3x — x = 1 + 2 \)

\( 2x = 3 \)

\( x = \frac{3}{2} = 1,5 \)

2) \( 3x — 2 = -(x + 1) \)

\( 3x — 2 = -x — 1 \)

\( 3x + x = -1 + 2 \)

\( 4x = 1 \)

\( x = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{4}; x = 1,5 \)

10) Решим \( |x + 4| = |x — 6| \)

Применяем правило \( |A| = |B| \Rightarrow A = B \) или \( A = -B \)

1) \( x + 4 = x — 6 \)

Вычитаем \( x \) с обеих сторон:

\( 4 = -6 \) — невозможно, значит, корней нет

2) \( x + 4 = -(x — 6) \)

Раскрываем скобки:

\( x + 4 = -x + 6 \)

Складываем \( x \) с обеих сторон:

\( x + x + 4 = 6 \Rightarrow 2x + 4 = 6 \)

Вычитаем 4:

\( 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \)

Ответ: \( x = 1 \)

11) Решим \( ||x| — 3| = 5 \)

Применяем правило модуля:

\( |x| — 3 = 5 \) или \( |x| — 3 = -5 \)

1) \( |x| — 3 = 5 \Rightarrow |x| = 8 \Rightarrow x = 8 \) или \( x = -8 \)

2) \( |x| — 3 = -5 \Rightarrow |x| = -2 \) — невозможно, так как модуль неотрицателен

Ответ: \( x = \pm 8 \)