ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 2.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все целые значения n, при которых корень уравнения является натуральным числом:

1) nx = -5;

2) (n — 6)x = 25.

1) \( nx = -5 ⇒ x = -\frac{5}{n}; \)

при \( n = -1 ⇒ x = 5; \)

при \( n = -5 ⇒ x = 1. \)

Ответ: при \( n = -5; n = -1. \)

2) \( (n — 6)x = 25 ⇒ x = \frac{25}{n — 6}. \)

Выражение \( (n — 6) \) должно быть делителем числа 25, при чем \( (n — 6) > 0 \), тогда \( x \) будет натуральным числом:

\( n — 6 = 1, \quad n — 6 = 5, \quad n — 6 = 25 \)

\( n = 7 \quad\quad\quad n = 11 \quad\quad\quad n = 31. \)

Ответ: при \( n = 7; n = 11; n = 31. \)

Найдём все целые значения \(n\), при которых корень уравнения является натуральным числом.

1) Уравнение \(nx = -5\)

Перепишем уравнение, выразив \(x\):

\(nx = -5 ⇒ x = -\frac{5}{n}\)

Чтобы \(x\) было натуральным числом, необходимо, чтобы \(-\frac{5}{n}\) было положительным целым числом. Это означает, что дробь должна быть целой, а знак отрицательный компенсируется знаком \(n\):

• Число 5 должно делиться на \(n\), то есть \(n\) является делителем числа 5.
• Так как \(x = -\frac{5}{n} > 0\), то \(-\frac{5}{n} > 0 ⇒ n < 0\).

Делители числа 5: \(±1, ±5\). Среди них отрицательные: \(n = -1, n = -5\).

Проверим каждый вариант:

1. \(n = -1\):

\(x = -\frac{5}{-1} = 5\) — натуральное число

2. \(n = -5\):

\(x = -\frac{5}{-5} = 1\) — натуральное число

Следовательно, все подходящие значения:

Ответ: \(n = -5; n = -1\)

2) Уравнение \((n — 6)x = 25\)

Выразим \(x\) через \(n\):

\((n — 6)x = 25 ⇒ x = \frac{25}{n — 6}\)

Чтобы \(x\) было натуральным числом, необходимо:

• \(\frac{25}{n — 6}\) должно быть целым числом ⇒ \(n — 6\) делится на 25.
• Так как \(x\) — натуральное число, требуется \(x > 0 ⇒ n — 6 > 0\).

Делители числа 25: \(1, 5, 25, -1, -5, -25\). Среди них положительные: \(1, 5, 25\).

Следовательно:

\(n — 6 = 1 ⇒ n = 7\)

\(n — 6 = 5 ⇒ n = 11\)

\(n — 6 = 25 ⇒ n = 31\)

Проверим значения \(x\):

1. \(n = 7 ⇒ x = \frac{25}{7 — 6} = \frac{25}{1} = 25\) — натуральное число

2. \(n = 11 ⇒ x = \frac{25}{11 — 6} = \frac{25}{5} = 5\) — натуральное число

3. \(n = 31 ⇒ x = \frac{25}{31 — 6} = \frac{25}{25} = 1\) — натуральное число

Следовательно, все подходящие значения:

Ответ: \(n = 7; n = 11; n = 31\)